Question

Тождественный оператор Ax=x и оператор подобия Ax=kx являются линейными операторами? 1) оба являются 2) только оператор подобия 3) только тождественный оператор 4) оба не являются

Answer 1

Ответ:

оба являются

Пошаговое объяснение:

Заметим сначала, что первый оператор -- частный случай второго при k = 1

Теперь покажем, что оператор Ax = kx -- линейный. Рассмотрим два вектора v, u

A(v+u) = k(v+u) = kv + ku = Av + Au

Рассмотрим произвольный скаляр с

A(cv) = k(cv) = ckv = c Av

Answer 2

Линейный оператор — это функция, которая выполняет два свойства: сохранение суммы и сохранение умножения на скаляр. Проверим, являются ли данные операторы линейными.

1. Тождественный оператор Ax = x: Проверим свойства линейности:

Сохранение суммы: A(u + v) = u + v = Au + Av

Сохранение умножения на скаляр: A(cu) = cu = cAu

Оба свойства выполняются, значит, тождественный оператор является линейным оператором.

2. Оператор подобия Ax = kx: Проверим свойства линейности:

Сохранение суммы: A(u + v) = k(u + v) ≠ ku + kv, в общем случае не выполняется

Сохранение умножения на скаляр: A(cu) = kc u = c k u, в общем случае не выполняется

Оператор подобия не выполняет оба свойства линейности, значит, он не является линейным оператором.

Ответ: 3) только тождественный оператор