Question

16. y" +14y' +49y=0,y(0)=0,y'(0)=3,​Вища математика.Розв'язок Диференціального рівняння​

Answer 1

Ответ:

y(x) = 3xe⁻⁷ˣ

Пошаговое объяснение:

решим характеристическое уравнение:

l² + 14l + 49 = 0

(l + 7)² = 0

l = -7 - кратный корень

y(x) = C₁xe⁻⁷ˣ + C₂e⁻⁷ˣ

y(0) = C₂ = 0 => y(x) = C₁xe⁻⁷ˣ

y'(x) = C₁e⁻⁷ˣ - 7C₁xe⁻⁷ˣ

y'(0) = C₁ = 3

y(x) = 3xe⁻⁷ˣ

Answer 2

составим характеристическое уравнение к²+14к+49=0

(к+7)²=0, откуда к₁,₂=-7

Общий интеграл однородного диф. уравнения примет вид у=с₁е⁻⁷ˣ+с₂хе⁻⁷ˣ

у'=-7с₂х*е⁻⁷ˣ-7с₁е⁻⁷ˣ+с₂е⁻⁷ˣ

у=е⁻⁷ˣ *(с₁+с₂х)

Найдем теперь у(0)=с₁=0

у'(0)=c₂=3

3=c₂;

у=3хе⁻⁷ˣ

Answer 3

Дане диференціальне рівняння другого порядку можна вирішити методом характеристичного рівняння. Почнемо з його характеристичного рівняння:

r^2 + 14r + 49 = 0.

Характеристичне рівняння має один корінь, бо дискримінант D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4149 = 0.

Розв'язок характеристичного рівняння: r = -b / (2a) = -14 / (2*1) = -7.

Оскільки маємо один корінь r = -7, розв'язок диференціального рівняння матиме вигляд:

y(t) = C1 * e^(-7t) + C2 * t * e^(-7t),

де C1 і C2 - це константи, які залежать від початкових умов y(0) і y'(0).

Застосуємо початкові умови: y(0) = 0 і y'(0) = 3.

1. y(0) = C1 * e^(-70) + C2 * 0 * e^(-70) = C1 * 1 = 0, звідки C1 = 0.

2. y'(0) = -7 * C1 * e^(-70) + (C2 * e^(-70) - 7 * C2 * 0 * e^(-7*0)) = -7 * 0 + C2 * 1 = 3, звідки C2 = 3.

Таким чином, розв'язок диференціального рівняння з заданими початковими умовами буде:

y(t) = 0 * e^(-7t) + 3 * t * e^(-7t) = 3t * e^(-7t).