Question

Пожалуйста, распишите каждое действие, не надо кратко. 1) Найти скорость и ускорение точки в момент времени t0=4; S(t)=t^3-2t^2+5 2) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=корень из x-1/корень из x, в точке x0=1 3) Найти точку минимума функции y=4x^3-15x^2+12x+1

Answer 1

Ответ:

Производная.

Исследование функции.

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим каждое действие подробно.

1. Найти скорость и ускорение точки в момент времени t0=4; S(t)=t^3-2t^2+5:

Для начала, найдем производную функции S(t): S'(t) = d/dt (t^3 - 2t^2 + 5) = 3t^2 - 4t.

Теперь найдем скорость в момент времени t0=4, подставив t0 в производную: Скорость v(t0) = S'(t0) = 3(4)^2 - 4(4) = 48 - 16 = 32.

Далее, найдем производную скорости, чтобы найти ускорение: Ускорение a(t) = d/dt (v(t)) = d/dt (3t^2 - 4t) = 6t - 4.

Теперь подставим t0=4 в ускорение: Ускорение a(t0) = 6(4) - 4 = 24 - 4 = 20.

Таким образом, скорость в момент времени t0=4 составляет 32, а ускорение составляет 20.

2. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=корень из x-1/корень из x, в точке x0=1:

Для начала, найдем производную функции y(x): y'(x) = d/dx (sqrt(x) - 1/sqrt(x)) = 1/(2sqrt(x)) + 1/(2x^(3/2)).

Теперь найдем угловой коэффициент касательной, подставив x0=1 в производную: Угловой коэффициент k = y'(x0) = 1/(2sqrt(1)) + 1/(2*1^(3/2)) = 1/2 + 1/2 = 1.

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции y=корень из x-1/корень из x в точке x0=1 равен 1.

3. Найти точку минимума функции y=4x^3-15x^2+12x+1:

Для поиска точки минимума, найдем производную функции y(x): y'(x) = d/dx (4x^3 - 15x^2 + 12x + 1) = 12x^2 - 30x + 12.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение: 12x^2 - 30x + 12 = 0.

Разделим обе стороны на 6 для упрощения: 2x^2 - 5x + 2 = 0.

Факторизуем уравнение: (2x - 1)(x - 2) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x1 = 1/2 и x2 = 2.

Для определения точки минимума, найдем значение второй производной функции y(x): y''(x) = d^2/dx^2 (12x^2 - 30x + 12) = 24x - 30.

Теперь подставим критические точки во вторую производную: y''(x1) = 24(1/2) - 30 = 12 - 30 = -18, y''(x2) = 24(2) - 30 = 48 - 30 = 18.

Поскольку y''(x1) < 0 и y''(x2) > 0, точка x2=2 является точкой минимума функции.

Для нахождения соответствующего значения y в точке минимума, подставим x2=2 в исходную функцию: y(2) = 4(2)^3 - 15(2)^2 + 12(2) + 1 = 32 - 60 + 24 + 1 = -3.

Таким образом, точка минимума функции y=4x^3-15x^2+12x+1 равна (2, -3).