Question

Исследование функции y=3sin(1/2x)-1

Answer 1

.......................................... во владение

Answer 2

Для исследования функции y = 3sin(1/2x) - 1 нужно проанализировать её свойства и поведение. Исследование функции включает определение области определения и значения, нахождение интервалов возрастания и убывания, точек экстремума, асимптот, периода и амплитуды.

1. Область определения: Функция синуса определена для всех действительных чисел, поэтому область определения функции y = 3sin(1/2x) - 1 также является множеством всех действительных чисел: D = (-∞, ∞).

2. Значение функции: Функция y = 3sin(1/2x) - 1 принимает значения в интервале от -4 до 2, так как максимальное значение синуса равно 1, и при умножении на 3 получаем 3, а затем вычитаем 1: -4 ≤ y ≤ 2.

3. Период функции: Для функции y = 3sin(1/2x) - 1 период равен периоду синуса, который равен 2π. Это значит, что функция повторяется через каждые 2π единиц по оси x.

4. Амплитуда функции: Амплитуда синусоидальной функции равна модулю коэффициента при синусе. В данном случае амплитуда равна |3| = 3.

5. Интервалы возрастания и убывания: Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, необходимо найти значения производной функции и рассмотреть её знак на различных интервалах. Производная функции y = 3sin(1/2x) - 1 равна y' = (3/2)cos(1/2x).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: (3/2)cos(1/2x) = 0 cos(1/2x) = 0 1/2x = (π/2) + πk, где k - целое число x = π + 2πk, где k - целое число

Теперь определим знак производной на различных интервалах:

1. При x ∈ (0, π) производная положительна, т.е. функция возрастает.
2. При x ∈ (π, 2π) производная отрицательна, т.е. функция убывает.

6. Точки пересечения с осями: Чтобы найти точки пересечения с осями, решим уравнение y = 0: 3sin(1/2x) - 1 = 0 sin(1/2x) = 1/3 1/2x = π/6 + 2πk или 1/2x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число x = π/3 + 4πk или x = 5π/3 + 4πk, где k - целое число

Таким образом, точки пересечения с осью x это x = π/3, 5π/3, 13π/3, 17π/3, и т.д. Ось y пересекается в точке (0, 2).

7. Асимптоты: Функция y = 3sin(1/2x) - 1 не имеет вертикальных асимптот, так как синус ограничен значениями от -1 до 1, и при умножении на 3 получаем значения от -3 до 3, а затем вычитаем 1, что не дает бесконечно уходить вверх или вниз.

Горизонтальная асимптота определяется пределом функции при x стремящемся к плюс или минус бесконечности. При таком пределе, sin(1/2x) будет изменяться между -1 и 1, а значит, предел функции при x -> ±∞ равен -1. Таким образом, горизонтальная асимптота y = -1.

Итак, исследование функции y = 3sin(1/2x) - 1 включает:

• Область определения: D = (-∞, ∞).
• Значение функции: -4 ≤ y ≤ 2.
• Период функции: 2π.
• Амплитуда функции: 3.
• Интервалы возрастания и убывания: возрастает на интервале (0, π) и убывает на интервале (π, 2π).
• Точки пересечения с осями: (π/3, 0), (5π/3, 0), (13π/3, 0), (17π/3, 0) и т.д. Ось y: (0, 2).
• Горизонтальная асимптота: y = -1.