Question

Докажите, что функция убывает y=x-3/5-x при x>5 убывает.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=(x-3)/(5-x) .

у(6)=(6-3)/(5-6)=3/(-1)=-3

у(15)=(15-3)/(5-15)=12/(-10)=-1,2

УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — функция, значения которой по мере увеличения аргумента уменьшаются.

6 <15 , а у(6)> у(15) поэтому функция убывает.

Answer 2

Для доказательства убывания функции y = x - 3/(5-x) при x > 5, нужно показать, что производная этой функции отрицательна на данном интервале. Если производная отрицательна, это будет означать, что функция убывает.

Давайте найдем производную функции y = x - 3/(5-x) и проверим её знак на интервале x > 5:

Для нахождения производной используем правила дифференцирования:

dy/dx = d/dx (x - 3/(5-x))

Для упрощения дифференцирования, найдем общий знаменатель:

dy/dx = d/dx ((x*(5-x) - 3)/(5-x))

Теперь продифференцируем:

dy/dx = [(d/dx (x*(5-x) - 3))(5-x) - (x(d/dx (5-x)))] / (5-x)^2

Так как d/dx (5-x) = -1, и d/dx (x*(5-x) - 3) = 5 - 2x, подставим значения:

dy/dx = [(5 - 2x)(5-x) - x(-1)] / (5-x)^2

dy/dx = (25 - 7x + 2x^2 + x) / (5-x)^2

dy/dx = (2x^2 - 6x + 25) / (5-x)^2

Теперь проверим знак производной на интервале x > 5. Для этого найдем критические точки, т.е. значения x, при которых производная равна нулю:

dy/dx = (2x^2 - 6x + 25) / (5-x)^2 = 0

2x^2 - 6x + 25 = 0

Дискриминант этого уравнения D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4225 = 36 - 200 = -164

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет критических точек на интервале x > 5.

Теперь посмотрим знак производной на данном интервале. Для этого выберем любое значение x из интервала x > 5 и подставим его в производную. Например, возьмем x = 6:

dy/dx = (26^2 - 66 + 25) / (5-6)^2

dy/dx = (2*36 - 36 + 25) / (-1)^2

dy/dx = (72 - 36 + 25) / 1

dy/dx = 61

Таким образом, производная на интервале x > 5 положительна (dy/dx > 0), что означает, что функция убывает на данном интервале.

Вывод: Функция y = x - 3/(5-x) при x > 5 является убывающей.