Question

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен 1/9 Точка M — середина ребра SC, точка N — середина ребра AC . а) Докажите, что угол между прямыми BM и SA равен углу BMN .

Answer 1

Ответ:

Т.к. M — середина ребра SC, точка N — середина ребра AC ⇒ CM=MS, CN=NA⇒MN - средняя линия ΔSCA

По свойству средней линии MN║SA, ∠BMN - искомый

Answer 2

Чтобы доказать, что угол между прямыми BM и SA равен углу BMN, нам понадобится использовать свойства треугольника и соотношения между углами и сторонами.

Обозначим точку пересечения прямых BM и SA как точку P. Также обозначим точку пересечения прямых BM и AC как точку Q. Так как M — середина ребра SC, то треугольник SBM равнобедренный, и SM является медианой, а значит, точка P делит медиану SM в отношении 2:1.

Теперь рассмотрим треугольник SBN. Поскольку N — середина ребра AC, то AN является медианой, и точка Q делит медиану AN в отношении 2:1. Таким образом, отрезок BQ также делит отрезок BM в отношении 2:1.

Теперь рассмотрим треугольник BMQ. Отрезки BP и PQ делят сторону BM в отношении 2:1, а значит, BP также делит отрезок BN в отношении 2:1. Таким образом, точка P также является серединой ребра BN.

Из этого следует, что треугольники BMN и BPN равны по двум сторонам и углу между ними (сторона BN, сторона BM и угол B), а значит, угол между прямыми BM и SA равен углу BMN.

Таким образом, мы доказали, что угол между прямыми BM и SA равен углу BMN.