Question

Разложите на множители многочлен 5a3 – 3a2 – 10a + 6.

Answer 1

$5a^3-3a^2-10a+6=(5a^3-3a^2)-(10a-6)=\\\\=a^2(5a-3)-2(5a-3)=(5a-3)(a^2-2)$  

*** Если вы уже знаете корни, то можно упростить ещё:

$=(5a-3)(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})$

Answer 2

$\displaystyle \tt 5a^3-3a^2-10a+6=a^2(5a-3)-2(5a-3)=\boxed{\bold{(5a-3)(a^2-2)}}$

Answer 3

Для разложения многочлена на множители, мы сначала ищем его рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях.

Для данного многочлена 5a^3 – 3a^2 – 10a + 6, применим теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни можно найти, используя делители свободного члена (6) и коэффициент при старшей степени (5). В данном случае, делители 6: ±1, ±2, ±3, ±6, и делители 5: ±1, ±5.

Подставим эти значения в многочлен, начиная с наименьших делителей, чтобы проверить, какие из них являются корнями.

Подставим a = 1: 5(1)^3 – 3(1)^2 – 10(1) + 6 = 5 – 3 – 10 + 6 = -2

Подставим a = -1: 5(-1)^3 – 3(-1)^2 – 10(-1) + 6 = -5 – 3 + 10 + 6 = 8

Подставим a = 2: 5(2)^3 – 3(2)^2 – 10(2) + 6 = 40 – 12 – 20 + 6 = 14

Подставим a = -2: 5(-2)^3 – 3(-2)^2 – 10(-2) + 6 = -40 – 12 + 20 + 6 = -26

Мы видим, что многочлен обращается в 0 при a = -1. То есть, a = -1 является корнем многочлена.

Теперь мы можем разделить исходный многочлен на (a + 1) с использованием синтетического деления:

markdownCopy code
       5a^2 - 8a + 6
___________________________

a + 1 | 5a^3 - 3a^2 - 10a + 6

scssCopy code
     -(5a^3 + 5a^2)
    _______________
          -8a^2 - 10a

          -(-8a^2 - 8a)
         ______________
                   -2a + 6

                   -(-2a - 2)
                  ___________
                         8

Таким образом, разложение многочлена 5a^3 – 3a^2 – 10a + 6 на множители выглядит следующим образом:

5a^3 – 3a^2 – 10a + 6 = (a + 1)(5a^2 - 8a + 6)