Question

Знайти проміжки зростання і спадання функцій.

Answer 1

Ответ:

де в функції зменшується Y там вона спадає де збільшується Yтам вона збільшується

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання і спадання функції, необхідно вивчити її похідну та дослідити її знак на різних інтервалах. Ось кроки для знаходження таких проміжків:

1. Знайти похідну функції.
2. Знайти точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує. Ці точки можуть бути крайніми точками проміжків зростання або спадання.
3. З'ясувати знак похідної на різних інтервалах між знайденими точками.

Якщо похідна функції додатна на деякому інтервалі, то функція зростає на цьому інтервалі. Якщо похідна функції від'ємна на деякому інтервалі, то функція спадає на цьому інтервалі.

Тепер розглянемо приклад:

Припустимо, що дана функція:

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$

1. Знайдемо похідну функції $f'(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

2. Знайдемо точки, в яких похідна $f'(x)$ дорівнює нулю:

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

Таким чином, маємо дві точки: $x = 3$ і $x = -1$.

3. З'ясуємо знак похідної на інтервалах між знайденими точками та за межами них:

Перевіримо знак $f'(x)$ для $x < -1$, між -1 та 3, і $x > 3$:

3.1. При $x < -1$:

Підставимо $x = -2$ у $f'(x)$:

$f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$

Таким чином, $f'(x)$ додатня для $x < -1$, отже, функція зростає на цьому інтервалі.

3.2. При -1 < x < 3:

Підставимо $x = 0$ у $f'(x)$:

$f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0$

Таким чином, $f'(x)$ від'ємна для -1 < x < 3, отже, функція спадає на цьому інтервалі.

3.3. При $x > 3$:

Підставимо $x = 4$ у $f'(x)$:

$f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 24 - 24 - 9 = -9 < 0$

Таким чином, $f'(x)$ від'ємна для $x > 3$, отже, функція спадає на цьому інтервалі.

Отже, проміжки зростання функції $f(x)$ - це $(-\infty, -1)$ та $(3, +\infty)$, а проміжок спадання - $(-1, 3)$.