Question

Показать, что если в группе все элементы имеют порядок 2, то группа абелева.​

Answer 1

Все элементы группы имеют порядок 2. Значит

$\forall a\in G \;a*a=1_G$

Тогда:

$a,b\in G=> a*b\in G=>(a*b)*(a*b)=1_G\\ a*(a*b)*(a*b)*b=a*1_G*b\\ (a*a)*b*a*(b*b)=a*b\\ 1_G*b*a*1_G=a*b\\ b*a=a*b$

Т.е. операция $*$ группы коммутативна, а значит группа Абелева

Answer 2

Давайте докажем, что если в группе все элементы имеют порядок 2, то группа абелева.

Пусть G - группа, в которой все элементы имеют порядок 2. Чтобы показать, что G является абелевой группой, необходимо показать, что для любых двух элементов a и b из G выполняется коммутативность, то есть a * b = b * a.

Для любого элемента a из G порядок a равен 2. Это означает, что a * a = e, где e - нейтральный элемент группы G.

Возьмем произвольные элементы a и b из G. Умножим их:

(a * b) * (a * b)

Применим свойство ассоциативности:

= a * (b * (a * b))

Так как порядок b равен 2, то b * b = e. Аналогично, a * a = e. Мы можем переписать выражение:

= a * (e * (a * b))

= a * ((a * b) * e)

Так как порядок a равен 2, то a * a = e. Мы можем переписать выражение:

= (a * (a * b)) * e

= ((a * a) * b) * e

= (e * b) * e

Так как порядок b равен 2, то b * b = e. Мы можем переписать выражение:

= (e * e) * e

= e * e

= e

Таким образом, мы показали, что (a * b) * (a * b) = e, что означает, что порядок произведения a * b равен 2.

Теперь рассмотрим выражение (b * a) * (b * a):

(b * a) * (b * a)

= b * (a * (b * a))

Аналогично предыдущему рассуждению, мы можем показать, что это равно e.

Таким образом, мы доказали, что (a * b) * (a * b) = e и (b * a) * (b * a) = e, что означает, что a * b = b * a для любых элементов a и b из G.

Следовательно, группа G, в которой все элементы имеют порядок 2, является абелевой группой.