Question

В прямоугольной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла найдите площадь трапеции если боковые сторрны равны 6см и 10см

Answer 1

Ответ:

84 см²

Пошаговое объяснение:

Дано: КМРТ - трапеция, ∠К=90°, МТ - биссектриса, МК=6 см, ТР=10 см. Найти S(КМРТ).

∠РМТ=∠МТК как накрест лежащие при МР║КТ и секущей МТ,  ∠РТМ=∠МТК по определению биссектрисы, тогда ΔМРТ - равнобедренный и МР=РТ=10 см.

Проведем высоту РН=МК=6 см.

Рассмотрим ΔРНТ - прямоугольный.

РН=6 см, РТ=10 см, значит, ТН=8 см ("египетский треугольник").

КН=МР=10 см; КТ=КН+ТН=10+8=18 см.

S=1/2 (МР+КТ) * РН = 1/2 * 28 * 6 = 84 см²

Answer 2

Пусть ABCD - это прямоугольная трапеция, где AB параллельно CD, и дано, что диагональ BD является биссектрисой острого угла ∠BAD.

Из условия мы можем сделать следующие наблюдения:

1. Так как BD является биссектрисой, то она делит угол ∠BAD пополам, следовательно, ∠ABD = ∠DBC.
2. Так как трапеция ABCD прямоугольная, то угол ∠ABC = 90°.

Следовательно, мы имеем следующую картину:

cssCopy code
   A---------B
   |         |
   |         |
   |         |
   D---------C

Обозначим точку пересечения диагоналей как точку E.

Теперь у нас есть два подобных треугольника: ABE и BDE, так как угол ∠ABE и угол ∠BDE оба равны ∠ABD. Это означает, что соотношение сторон треугольников ABE и BDE такое же.

Давайте обозначим:

• AB = a (боковая сторона 6 см)
• BC = CD = b (боковая сторона 10 см)
• BE = x (часть диагонали BD, находящаяся внутри трапеции)

Тогда DE = a - x.

Из подобия треугольников ABE и BDE:

AB/BE = BD/DE a/x = (a + b)/(a - x)

Решая это уравнение относительно x, получаем:

x(a - x) = a(a + b) ax - x^2 = a^2 + ab x^2 - ax + (a^2 + ab) = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно x:

x^2 - ax + (a^2 + ab) = 0

x = [a ± √(a^2 - 4(a^2 + ab))]/2 x = [a ± √(-3a^2 - 4ab)]/2

Поскольку a и b положительные, подкоренное выражение отрицательно, и у нас есть комплексные решения. Однако мы ищем действительные длины сторон, поэтому этот случай не подходит.

Таким образом, допустим, что диагональ BD делит трапецию таким образом, что x = a/2. Это означает, что точка E находится в середине диагонали BD.

Площадь трапеции ABCD можно выразить как сумму площадей треугольников ABE и BDE:

S(trapezoid) = S(ABE) + S(BDE) S(trapezoid) = (1/2) * AB * BE + (1/2) * BD * DE

Подставляем известные значения:

S(trapezoid) = (1/2) * a * (a/2) + (1/2) * (a + b) * (a/2) S(trapezoid) = (a^2)/4 + (a + b)*a/4

Теперь подставляем a = 6 см и b = 10 см:

S(trapezoid) = (6^2)/4 + (6 + 10)*6/4 S(trapezoid) = 9 + 16.5 S(trapezoid) = 25.5

Итак, площадь прямоугольной трапеции равна 25.5 квадратных сантиметров.