Question

Запишите уравнение прямой ax+by=c ( где a,b,c целые числа), проходящей через точки М( 1;-1) N(3;2)

Answer 1

$ax + by = c$

Если данная прямая проходит через точки $M (1;-1)$ и $N(3;2)$, то получим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{a - b = c \ \ \ } \atop {3a + 2b = c}} \right.$

Помимо этого, через точку $(0; \ c)$ прямая тоже должна пройти — точка пересечения прямой с осью ординат. Таким образом, получили систему трех уравнений:

$\left\{\begin{array}{ccc}a - b = c \ \ \ \\3a + 2b = c\\0a + bc = c\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}a - b = c \ \ \ \ \\3a + 2b = c \ \\b = 1, \ c \neq 0 \end{array}\right$

$\displaystyle \left \{ {{a - 1 = c \ \ } \atop {3a + 2 = c}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{a - c = 1 \ \ \ \ } \atop {3a -c = -2}} \right.$

Вычтем из первого уравнения второе уравнение:

$a - 3a - c + c = 1 + 2\\-2a = 3\\a = -1,5$

Тогда $-1,5 - c = 1; \ \ c = -1,5 - 1 = -2,5$

Получили уравнение прямой $-1,5x + y = -2,5$

Так как по условию $a, \ b$ и $c$ — целые числа, домножим получившееся уравнение на 2:

$-3x + 2y = -5$

Ответ: $-3x + 2y = -5$

Answer 2

Для того чтобы записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, можно воспользоваться методом определения уравнения прямой по двум точкам (точечный метод).

Пусть уравнение прямой имеет вид: ax + by = c

Для начала найдем угловой коэффициент прямой (a/b) по формуле: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек М(1, -1) и N(3, 2) соответственно.

m = (2 - (-1)) / (3 - 1) = 3 / 2

Теперь у нас есть угловой коэффициент (3/2) и одна из точек прямой (М: 1, -1).

Теперь подставим найденные значения в уравнение прямой: y - y1 = m * (x - x1)

где (x1, y1) - координаты известной точки М(1, -1).

y - (-1) = (3/2) * (x - 1)

y + 1 = (3/2) * (x - 1)

Распределим коэффициент (3/2) на правой стороне:

2 * (y + 1) = 3 * (x - 1)

Теперь приведем уравнение к стандартному виду ax + by = c:

2y + 2 = 3x - 3

Приравняем все члены к нулю:

3x - 2y = 5

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки М(1, -1) и N(3, 2), равно:

3x - 2y = 5