Question

Добрый день! Недавно стала увлекаться теорией вероятностей. Помогите, пожалуйста, с одной интересной задачей. Существуют же невероятные встречи!Бывает такое, что случайно встречаешь в Москве человека, о котором тебе рассказывали, из другого далекого города, или в другой стране неожиданно встречаешь давнего друга. Я уже не говорю про встречи знакомых в Метро, иногда одного человека видишь несколько раз в течение месяца, в местах, где, как тебе кажется, просто нет шанса пересечься И тут у меня появилось желание вычислить вероятность случайной встречи в течение года со знакомым человеком, зная несколько возможных точек пресечения. Количество пересечений: 1 встреча Население Москвы по состоянию на 2019: 12 615 279 Количество возможных точек пересечения: 5 Количество дней: 182 Встреча = столкнуться лицом к лицу. Как можно решить задачу с этими данными? Нужно ли что-ещё дополнительно?

Answer 1

............................

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать принцип "разделения и завоевания". Мы разобьем задачу на несколько шагов и будем поочередно вычислять вероятности.

1. Найдем вероятность случайной встречи в одной конкретной точке пересечения.

   Вероятность, что встреча произойдет в конкретной точке, можно оценить как отношение числа людей, находящихся в этой точке, к общему населению Москвы. Пусть $N$ - население Москвы, $n$ - число людей в конкретной точке. Тогда вероятность встречи в этой точке:

   $P_{\text{точка}} = \frac{n}{N}$

2. Найдем вероятность случайной встречи в любой из пяти точек пересечения.

   Для этого просто сложим вероятности встречи в каждой из точек:

   $P_{\text{пересечение}} = P_{\text{точка1}} + P_{\text{точка2}} + P_{\text{точка3}} + P_{\text{точка4}} + P_{\text{точка5}}$

3. Найдем вероятность случайной встречи с учетом всех пяти возможных точек пересечения.

   Здесь нам потребуется использовать принцип включения-исключения, так как могут возникнуть ситуации, когда встреча происходит в нескольких точках одновременно. Пусть $P_{\text{пересечение}}(i)$ - вероятность встречи в $i$-й точке пересечения, а $P_{\text{пересечение}}(i,j)$ - вероятность встречи одновременно в $i$-й и $j$-й точках пересечения. Тогда вероятность встречи хотя бы в одной из пяти точек:

   $P_{\text{хотя бы одна точка}} = P_{\text{пересечение}} - \sum_{i=1}^{5} P_{\text{пересечение}}(i) + \sum_{i < j} P_{\text{пересечение}}(i,j)$

4. Найдем вероятность случайной встречи за год.

   Поскольку задача предполагает одну встречу за год, то вероятность встретиться ровно 1 раз за год равна вероятности встречи хотя бы в одной из точек (шаг 3) минус вероятность встречи в двух и более точках одновременно:

   $P_{\text{1 встреча за год}} = P_{\text{хотя бы одна точка}} - \sum_{i < j} P_{\text{пересечение}}(i,j)$

Примечание: Эта модель предполагает, что вероятности встречи в разных точках пересечения независимы друг от друга и что вероятность встречи в двух и более точках одновременно ничтожно мала. Это упрощение позволяет оценить вероятность встречи, но не учитывает дополнительных факторов, таких как частота перемещения и плотность населения в разных районах Москвы.