Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции.f (x)=x^4-2^2+3на отрезке [ — 4; 3);​

Answer 1

Дана функция f(x)=x^4 - 2x² + 3.

Её производная равна f(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x² - 1).

Приравняв производную нулю,  получаем 3 критические точки: х = 0 и х = +-1.

Находим знаки производной на промежутках (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; ∞).

x = -2    -1      -0,5    0        0,5    1      2

y' =  -24    0       1,5     0       -1,5     0     24 .

В точках х = +-1 есть 2 общих минимума, у(мин) = 2,

в точке х = 0 местный максимум.

Так как функция чётная, то на заданном промежутке максимальное значение функции в точке х = -4.

у = (-4)^4 - 2*(-4)² + 3 = 227.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $[-4, 3)$, нужно проанализировать поведение функции на этом интервале.

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0$ Из этого следует, что $x = 0$ и $x = \pm 1$ - это критические точки.

2. Теперь проверим значения функции в этих критических точках и на границах отрезка $[-4, 3)$: $f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^2 + 3 = 256 - 32 + 3 = 227$ $f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$ $f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 2$ $f(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^2 + 3 = 63$

Таким образом, на отрезке $[-4, 3)$ наименьшее значение функции $f(x)$ равно 2, и оно достигается при $x = 1$, а наибольшее значение функции равно 227 и оно достигается при $x = -4$.