Question

Робот-художник в прямоугольнике 5*8 проводит диагонали таким образом, чтобыникакие 2 из них не имели общих концов.Сколько максимально таких диагоналейможно провести?​

Answer 1

Ответ:8

Пошаговое объяснение:

Заметим что максимальное количество диагоналей (даже пересекающихся) в прямоугольнике 5 на 8 такое же как в прямоугольнике 1 на 8 (чтобы доказать нарисуй прямоугольник 5 на 8 и проведи всевозможные диагонали (я так понял по линии клеток), выдели прямоугольник 1 на 8 в прямоугольнике 5 на 8 и скажи что если продлить диагонали в нем, то получатся такие же диагонали как и в прямоугольнику 5 на 8).

А максимальное количество не пересекающихся диагоналей в прямоугольнике 1 на 8 8

Answer 2

Чтобы робот-художник провел максимально возможное количество диагоналей в прямоугольнике 5x8 так, чтобы никакие две из них не имели общих концов, можно применить следующий подход:

При проведении первой диагонали робот выбирает две противоположные вершины прямоугольника. В данном случае, можно выбрать диагональ между вершинами (0, 0) и (8, 5), как наибольшую диагональ в прямоугольнике.

После проведения первой диагонали прямоугольник будет разделен на две части. В каждой части у нас останется прямоугольник меньшего размера. В нашем случае, размеры этих прямоугольников будут 5x4 и 5x3.

Затем, в каждом из этих прямоугольников робот проведет новую диагональ, выбрав опять две противоположные вершины.

Процесс продолжается до тех пор, пока размеры прямоугольников не станут менее 2x2, так как для прямоугольника размером 1x1 провести диагональ невозможно.

Посчитаем количество диагоналей на каждом этапе:

1. В начальном прямоугольнике 5x8 проведена одна диагональ.
2. После первого разделения, в двух прямоугольниках 5x4 и 5x3 проведены две диагонали.
3. После второго разделения, в четырех прямоугольниках 4x2, 4x2, 3x2 и 3x2 проведены четыре диагонали.
4. После третьего разделения, в восьми прямоугольниках 2x1, 2x1, 2x1, 2x1, 2x1, 2x1, 2x1 и 2x1 проведены восемь диагоналей.

Общее количество проведенных диагоналей равно 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

Таким образом, максимальное количество диагоналей, которое можно провести в прямоугольнике 5x8 так, чтобы никакие две из них не имели общих концов, равно 15.