Question

15 баллов! Можно ли нарисовать 7 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

Answer 1

Предположим, что так нарисовать можно. Посчитаем общее количество точек пересечения: 3 точки у первой прямой, 3 точки у второй прямой, и так далее, и 3 точки у седьмой прямой. Итого: 3·7=21 точка.

Но каждую точку мы посчитали дважды. Например, точку пересечения первой и второй прямой мы считали и как точку, относящуюся к первой прямой, и как точку, относящуюся ко второй прямой. Значит, реальное их число вдвое меньше. Но 21 - нечетное число. Значит, расчетное реальное число точек пересечения дробное, чего быть не может.

Противоречие. Значит предположение неверное, и такое изображение невозможно.

Ответ: нет, нельзя

Answer 2

К сожалению, невозможно нарисовать 7 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими отрезками.

Давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Если каждый отрезок пересекает только три других отрезка, то у каждого отрезка должно быть три пересечения. При этом каждое пересечение добавляет два новых отрезка. Если начать с одного отрезка, то после первого пересечения будет 2 отрезка, после второго - 4 отрезка, после третьего - 6 отрезков. Однако, чтобы каждый отрезок пересекал только три других, нужно добавить ещё одно пересечение, что приведет к наличию восьми отрезков. Таким образом, это не возможно.

2. Если хотя бы один отрезок пересекает более трех других отрезков, то какой-то из отрезков должен пересечься с ним дважды. Это означает, что у него должны быть как минимум 4 пересечения. Если каждое пересечение добавляет два новых отрезка, то после трех пересечений будет 6 отрезков. Но чтобы добавить четвертое пересечение, нужно еще два отрезка, и тогда будет уже 8 отрезков. Таким образом, и в этом случае невозможно нарисовать 7 отрезков, удовлетворяющих условию.

Таким образом, невозможно нарисовать 7 отрезков, каждый из которых пересекается ровно с тремя другими.