Question

Перейти от двойного интеграла ∬D f(x,y) dxdy к повторному, расставив пределы интегрирования, если область D ограничена прямыми y=2x, y=−x и x=3. 2 ответа

Answer 1

$y=2x\; ,\; \; y=-x\; ,\; \; x=3\\\\y(3)=2x\Big|_{x=3}=2\cdot 3=6\; \; ,\; \; y(3)=-x\Big|_{3}=-3\\\\\\\iint\limits_{D}\, f(x,y)\, dx=\int\limits^{3}_0\, dx \int\limits^{2x}_{-x}\, f(x,y)\, dy=\\\\=\int\limits^0_{-3}\, dy\int\limits^3_{-y}\, f(x,y)\, dx+\int\limits^6_0\, dy\int\limits^{y/2}_{3}\, f(x,y)\, dx$

Answer 2

Чтобы перейти от двойного интеграла к повторному для области D, ограниченной прямыми y = 2x, y = -x и x = 3, нужно выразить область D в виде простых пределов интегрирования.

Ответ 1:

Для этого обратим внимание на график области D:

Copy code
   |\
   | \
   |  \
   |___\

Область D лежит внутри треугольника, образованного прямыми y = 2x, y = -x и x = 3.

Чтобы перейти к повторному интегралу, пределы интегрирования будут следующими:

1. Первый интеграл по y будет от -x до 2x (верхний и нижний края треугольника).

2. Второй интеграл по x будет от 0 до 3 (границы области D по оси x).

Таким образом, повторный интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫[0 to 3] ∫[-x to 2x] f(x, y) dy dx

Ответ 2:

Другой подход - перейти к интегрированию сначала по y, а затем по x.

1. Первый интеграл по y будет от -x до 2x (границы области D по оси y).

2. Второй интеграл по x будет от 0 до 3 (границы области D по оси x).

Таким образом, повторный интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫[0 to 3] ∫[-x to 2x] f(x, y) dy dx

Оба этих ответа соответствуют повторному интегралу для области D, ограниченной прямыми y = 2x, y = -x и x = 3. Выбор порядка интегрирования может различаться в зависимости от задачи, но результат будет одинаковым.