Question

Продиференціюйте функцію y=(2✓x-4ln(2+✓x))²

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$2(2\sqrt{x} -4ln(2+\sqrt{x}))*(2*\frac{1}{2\sqrt{x} } - 4*\frac{1}{2+\sqrt{x} } *\frac{1}{2\sqrt{x} } ) = 2(2\sqrt{x} -4ln(2+\sqrt{x}))*(\frac{1}{\sqrt{x} } - \frac{2}{\sqrt{x} } *\frac{1}{2+\sqrt{x} } ) = \frac{4\sqrt{x}-8ln(2+\sqrt{x}) }{2+\sqrt{x} }$

Answer 2

Для продиференціювання функції y = (2√x - 4ln(2 + √x))² відносно x, спочатку використаємо ланцюжкове правило диференціювання (chain rule). Згідно цього правила, якщо маємо функцію у вигляді (u(v(x)))², то її похідна відносно x визначається як 2 * u(v(x)) * u'(v(x)) * v'(x). Де u'(v(x)) - похідна функції u відносно її змінної v, а v'(x) - похідна функції v відносно x.

В даному випадку:

1. Позначимо u = (2√x - 4ln(2 + √x)).
2. Позначимо v = √x.

Тоді ми можемо записати функцію у вигляді y = u² і застосувати ланцюжкове правило для знаходження похідної.

1. Знайдемо похідну u відносно v (u'(v)):

u = (2v - 4ln(2 + v)). Похідна u відносно v: u'(v) = 2 - 4 * (1 / (2 + v)) = 2 - 4 / (2 + v).

2. Знайдемо похідну v відносно x (v'(x)):

v = √x. Похідна v відносно x: v'(x) = (1 / (2√x)) = 1 / (2v).

Тепер ми маємо всі складові для знаходження похідної функції y = (2√x - 4ln(2 + √x))² відносно x.

3. Знаходимо похідну y відносно x:

y = u². y' = 2 * u * u' * v'. y' = 2 * (2√x - 4ln(2 + √x)) * (2 - 4 / (2 + √x)) * (1 / (2√x)).

Згортаємо вираз: y' = 2 * (2√x - 4ln(2 + √x)) * (2 - 2 / (2 + √x)) * (1 / (2√x)). y' = 2 * (2√x - 4ln(2 + √x)) * ((2 + √x - 2) / (2 + √x)) * (1 / (2√x)). y' = 2 * (2√x - 4ln(2 + √x)) * (√x / (2 + √x)) * (1 / (2√x)). y' = 2 * (√x - 2ln(2 + √x)) * (1 / (2 + √x)).

Таким чином, похідна функції y = (2√x - 4ln(2 + √x))² відносно x дорівнює: y' = 2 * (√x - 2ln(2 + √x)) * (1 / (2 + √x)).