Question

5) соѕ3х – соѕх = 0 6) ѕіn4х = ѕіn2х7) 3ѕіn2х - 2ѕіnх ∙ соѕх = 1Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:5) соѕ3х – соѕх = 0      -2Sin(3x+x)·Sin(2x-x)=0            Sin 4x · Sin x =0 ⇒ Sin 4x=0  или Sin x=0  a)Sin 4x=0, 4x=nπ, где n∈Z   ⇒х=nπ/4, где n∈Z     б)Sin x=0 , x=nπ, где n∈Z     Отв: x=nπ, х=nπ/4, где n∈Z                                                                                                                   6) ѕіn4х = ѕіn2х  ⇒ ѕіn4х - ѕіn2х  =0 ⇒ 2Sin((4x-2x)/2) · Cos((4x+2x)/2) =0 ⇒Sin x·Cos(3x)=0 ⇒ Sin x=0  или Cos (3x)=0  a) Sin x=0 , x=nπ, где n∈Z   б) Cos (3x)=0  3х=π/2 +nπ, где n∈Z⇒ х=π/6+ nπ/3, где n∈Z   Отв: x=nπ, х=π/6+ nπ/3, где n∈Z                                                                                                                   7) 3ѕіn2х - 2ѕіnх ∙ соѕх = 1  ⇒ 3ѕіn2х - ѕіn2x = 1  ⇒ 2ѕіn2х = 1  ⇒         ѕіn2х = 1/2  ⇒  2x=(-1)ⁿ·arcsin(1/2)+ nπ, где n∈Z; x=(-1)ⁿ·1/2·arcsin(1/2)+ nπ/2, где n∈Z; x=(-1)ⁿ·1/2· π/6+ nπ/2, где n∈Z;  Ответ:  x=(-1)ⁿ·π/12+ nπ/2, где n∈Z

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение поочередно:

5. $\cos(3x) - \cos(x) = 0$

Мы можем использовать тригонометрическую формулу разности для косинусов:

$\cos(a) - \cos(b) = -2 \sin \left(\frac{a + b}{2}\right) \sin \left(\frac{a - b}{2}\right)$

В данном случае, $a = 3x$ и $b = x$:

$-2 \sin \left(\frac{3x + x}{2}\right) \sin \left(\frac{3x - x}{2}\right) = 0$

$-2 \sin(2x) \sin(x) = 0$

Теперь у нас есть два множителя. Уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$\sin(2x) = 0$ или $\sin(x) = 0$

Это дает нам два набора решений:

a) $\sin(2x) = 0$: Это уравнение имеет решения при $2x = k\pi$, где $k$ - целое число. Следовательно, $x = \frac{k\pi}{2}$.

b) $\sin(x) = 0$: Это уравнение имеет решения при $x = n\pi$, где $n$ - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения $\cos(3x) - \cos(x) = 0$: $x = \frac{k\pi}{2}$ или $x = n\pi$, где $k$ и $n$ - целые числа.

6. $\sin(4x) = \sin(2x)$

Используем тригонометрическую формулу удвоения синуса:

$\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$

В данном случае, $a = 2x$:

$2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(2x)$

Теперь мы можем разделить обе стороны на $\sin(2x)$ (при условии $\sin(2x) \neq 0$):

$2\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Это уравнение имеет решения при $2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ или $2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ - целое число.

Следовательно, $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + k\pi$, где $k$ - целое число.

7. $3\sin(2x) - 2\sin(x) \cos(x) = 1$

Мы видим произведение синуса и косинуса на правой стороне уравнения, что намекает на использование формулы произведения синуса и косинуса:

$\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$

В данном случае, $a = x$:

$3\cdot2\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 1$

$6\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 1$

$4\sin(x)\cos(x) = 1$

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Мы уже знаем решения этого уравнения из предыдущего пункта:

$x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + k\pi$, где $k$ - целое число.

Это решение охватывает все три уравнения.