Question

На какую максимальную степень 19 делится без остатка число 2020!

Answer 1

Ответ: 111

Пошаговое объяснение:

Факториал числа n:

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$

По определению факториала данное число можно представить как произведение последовательных натуральных чисел:

$2020!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 2019\cdot 2020$

Будем проверять на делимость множители в правой части. Выделим числа, кратные 19.

Если число кратно 19, то его можно представить как 19n (например 19, 2*19, 3*19, ...). Найдём наибольший множитель в правой части, представимый в таком виде:

$19n \leq 2020\\ \\ n \leq \frac{2020}{19} \\\\ n \leq 106\frac{6}{19}$

Так как n ∈ N, то наибольшее n = 106 (соответствует множителю 2014).

Заметим, что n означает количество множителей в правой части, кратных 19: 19, 38, 3*19, 4*19, ..., 104*19, 105*19, 106*19. Всего их n = 106. Значит число 2020! разделится на 19¹⁰⁶ без остатка.

Однако, 19² = 361 < 2020, а значит среди множителей выше найдутся те, которые кратны 19 дважды, например число 19² = 361. Такие числа дадут возможность ещё раз поделить их без остатка на 19, то есть увеличат итоговый ответ. Они попадаются, когда n кратно 19 (19*19, 38*19, 57*19, ...). Найдём их количество.

Так как в этом случае n кратно 19, то n = 19m, получим:

$19m\leq 106\\ \\ m\leq \frac{106}{19} \\ \\ m\leq 5\frac{11}{19}\\ \\ m=5$

Получается, что всего таких чисел 5 (361, 722, 1083, 1444, 1805). Значит если разделить 2020! ещё на 19⁵, то получится целое число. Итого:

$2020! : 19^{106} : 19^5 = 2020! : 19^{106+5}=2020!:19^{111}\in Z$

Так как 19³ > 2020, то чисел кратных 19 трижды и более в числе 2020! не встречается. Иных кратных 19 множителей, которые не учли, нет.

Получаем, что число 2020! делится без остатка на 19 в 111 степени.

Answer 2

Для определения максимальной степени, на которую число 19 делится без остатка в числе 2020!, мы можем использовать формулу Лежандра. Формула Лежандра позволяет нам вычислить степень простого числа p, на которую делится факториал числа n.

В данном случае мы хотим узнать степень, на которую число 19 делится без остатка в числе 2020!. Поэтому мы можем вычислить Лежандров символ (2020!, 19).

Лежандров символ (n, p) определяется следующим образом:

• Если p не является простым числом, то символ Лежандра (n, p) равен нулю.
• Если p является простым числом, то символ Лежандра (n, p) равен количеству простых множителей p в разложении n! на простые множители.

В нашем случае число 19 является простым числом. Мы можем вычислить степень, на которую число 19 делится без остатка в числе 2020!, вычислив символ Лежандра (2020!, 19).

Применяя формулу Лежандра, мы получаем:

(2020!, 19) = [2020/19] + [2020/19^2] + [2020/19^3] + ...

где [x] обозначает наибольшее целое число, которое не превосходит x.

Продолжим расчеты:

[2020/19] = 106 [2020/19^2] = 5 [2020/19^3] = 0 ...

Таким образом, максимальная степень, на которую число 19 делится без остатка в числе 2020!, равна 106+5+0+... = 111.

Таким образом, число 19 делится без остатка на степень 111 в числе 2020!.