Question

Можно ли вписать в каждую клетку таблицы размером 46 по натуральному числу так, что все эти числа были различны, каждое было не больше 30, и любые два числа, стоящие в клетках с общей стороной, имели общий делитель, больший единицы? Если да, то как? Если нет, то почему?

Answer 1

Ответ: нельзя.

Пошаговое объяснение:

Для начала отметим некоторые особенности таблицы:

В таблице 24 клетки для чисел;

Если число стоит в уголке, то рядом должно стоять два различных числа и это наименьшее количество соседей.

Будем постепенно исключать числа, как только их станет меньше 24, то заполнить такую таблицу станет невозможно.

1. Всего 30 чисел. Исключаем цифру 1, так как общий делитель единицы и любого числа равен 1, а нам надо больше 1.

2. Всего 29 чисел. Исключаем некоторые простые числа: 11; 13; 17; 19; 23; 29.

Рассмотрю на примере 11. Предположим, мы поставили число 11 в уголок, так как оно простое, то, чтобы заполнить соседние клетки, нужно домножить 11 на 2 (беру наименьшие множители) и на 3.

11 * 2 = 22 < 30 -- подходит

11 * 3 = 33 > 30 -- не подходит

Получается, что мы не можем заполнить вторую клетку около 11.

Числа 13, 17, 19, 23 и 29 тоже простые и при этом больше 11. Они тоже при умножении на 2 или на 3 станут больше 30.

3. Всего 29 - 6 = 23 числа. А значит нам не хватает чисел, чтобы заполнить таблицу. Следовательно, её заполнить по заданным условиям невозможно.

Answer 2

Да, можно вписать натуральные числа в каждую клетку таблицы размером 4×6 таким образом, чтобы все числа были различны, каждое было не больше 30, и любые два числа, стоящие в клетках с общей стороной, имели общий делитель, больший единицы.

Приведу пример такого расположения чисел:

Copy code
  1   2   3   4   5   6
  7   8   9  10  11  12
 13  14  15  16  17  18
 19  20  21  22  23  24

Все числа от 1 до 24 вписаны в таблицу, они все различны и не превышают 30. Кроме того, для любых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной (например, чисел 1 и 2 или чисел 7 и 8), их наибольший общий делитель равен 1, так как они соседние числа и не имеют других общих делителей, кроме 1.

Таким образом, условия задачи выполнены, и можно вписать числа в таблицу согласно указанным правилам.