Question

!!!!!!!!!!!!!ПОМОГИТЕ, пожалуйста, СРОЧНО!!!!(в интернете нет этой задачи) с полным решением и рисунком!Основанием пирамиды является квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания. Наибольшее боковое ребро пирамиды образует с высотой угол β . Расстояние от основания высоты пирамиды до середины этого ребра равно d. Найдите объём пирамиды.​​​​​​​​​​​​​​

Answer 1

Некоторые пояснения к решению.

1. Одно боковое  ребро пирамиды SB перпендикулярно плоскости основания. Проекции двух других ребер - это стороны квадрата АВ и ВС и они равны, и только проекция BD четвертого ребра SD- диагональ квадрата - самая большая ,=> ребро пирамиды SD - наибольшее.

2.Объем пирамиды (2/3)*d²*sin²β*2d*cosβ=

(2/3)d³*sinβ*(2sinβ*cosβ)=(2/3)d³*sinβ*(sin2β)

3. Ответ можно было дать, не применяя формулы синуса двойного угла, т.е. (4/3)d³*sin²β*cosβ

Оба ответа верные.

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу поэтапно.

Пусть сторона квадрата, являющегося основанием пирамиды, равна "а". Тогда пирамида будет иметь форму, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
           P
         /   \
        /     \
       /       \
      /         \
     /___________\
         B   a   B

Где "P" - вершина пирамиды, "B" - середина бокового ребра, "a" - сторона квадрата, а верхний треугольник - это проекция пирамиды на основание.

По условию, угол между наибольшим боковым ребром (от "P" до "B") и высотой пирамиды (от "P" до центра основания) равен β.

Также, нам дано, что расстояние от основания до середины бокового ребра (d) также известно.

Шаг 1: Найдем длину высоты пирамиды (h). Обозначим высоту пирамиды как "h". Тогда вертикальная проекция пирамиды на основание будет иметь форму квадрата со стороной "а" и высотой "h". Кроме того, прямоугольный треугольник "PBB'" образуется путем проекции пирамиды на плоскость основания. Треугольник "PBB'" прямоугольный, и угол между горизонтальной проекцией ребра "PB'" и горизонталью равен β (поскольку это перпендикуляр к основанию). Таким образом, можно записать следующее уравнение:

tan(β) = (BB' / h) (1)

Шаг 2: Найдем длину бокового ребра пирамиды (s). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника "PBB'":

BB'^2 + h^2 = s^2 (2)

Шаг 3: Найдем объем пирамиды (V). Объем пирамиды можно вычислить, зная площадь основания (S) и высоту (h):

V = (1/3) * S * h (3)

Шаг 4: Найдем площадь основания пирамиды (S). Площадь основания - это площадь квадрата, которая равна "а^2":

S = a^2 (4)

Теперь у нас есть все необходимые уравнения для решения задачи. Начнем с выражения для h:

Из уравнения (1) выразим BB':

BB' = h * tan(β)

Теперь подставим это выражение для BB' в уравнение (2):

(h * tan(β))^2 + h^2 = s^2

h^2 * (tan^2(β) + 1) = s^2

h^2 = s^2 / (tan^2(β) + 1)

h = √(s^2 / (tan^2(β) + 1)) (5)

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты h, подставим его в уравнение (3) для нахождения объема:

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * a^2 * √(s^2 / (tan^2(β) + 1))

V = (a^2 / 3) * √(s^2 / (tan^2(β) + 1)) (6)

Теперь у нас есть выражение для объема пирамиды V в терминах стороны "а" и длины бокового ребра "s". Чтобы получить окончательное численное значение объема, нужно найти значения "а" и "s".

Надеюсь, это решение поможет вам решить задачу с рисунком. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!