Question

Концы диаметра АВ удалены от касательной НР на расстояния 1,6 и 2,4. Найдите длину диаметра АВ. СРОЧНО!!! 30 БАЛЛОВ!

Answer 1

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикулярного к ней отрезка.

И диаметр перпендикулярен касательной в точке касания.  

Сделав рисунок по условию задачи, обнаружим, что получилась

прямоугольная трапеция, в которой

радиус окружности является средней линией.

В самом деле, радиус окружности параллелен основаниям трапеции и делит ее боковую сторону -диаметр - пополам.

А средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Следовательно диаметр, равный длине двух радиусов, равен сумме оснований этой трапеции. D=1,6+0,6=2,2  

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойство ортогональности касательной и радиуса к точке касания на окружности.

Пусть O - центр окружности, А и В - концы диаметра, Н - точка касания касательной НР с окружностью, N - проекция точки Н на диаметр АВ.

Поскольку диаметр перпендикулярен касательной в точке касания, то НОN - прямоугольный треугольник.

Пусть x - расстояние между точками Н и N.

Тогда расстояние от точки Н до точки О равно x + 1.6 (так как одна из сторон прямоугольного треугольника равна 1.6) и расстояние от точки Н до точки В равно x + 2.4 (так как другая сторона прямоугольного треугольника равна 2.4).

Так как ОА = ОВ (О - центр окружности, А и В - концы диаметра), то у нас имеется два прямоугольных треугольника с одинаковой гипотенузой ОН и равными катетами x + 1.6 и x + 2.4.

Теперь можем записать уравнение:

(x + 1.6)^2 + x^2 = (x + 2.4)^2

Раскроем скобки и упростим:

x^2 + 3.2x + 2.56 + x^2 = x^2 + 4.8x + 5.76

Перенесем все в левую часть уравнения:

2x^2 - 1.6x - 3.2 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = -1.6, c = -3.2

D = (-1.6)^2 - 4 * 2 * (-3.2) = 1.6^2 + 25.6 = 27.04

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (1.6 ± √27.04) / 4

x = (1.6 ± 5.2) / 4

Так как расстояние не может быть отрицательным, выбираем положительное значение:

x = (1.6 + 5.2) / 4

x = 6.8 / 4

x = 1.7

Теперь можем найти длину диаметра АВ, используя теорему Пифагора:

AB = √(ON^2 + OA^2) = √(1.7^2 + (1.7 + 1.6)^2) ≈ √(2.89 + 8.41) ≈ √11.3 ≈ 3.36

Таким образом, длина диаметра АВ составляет примерно 3.36 единицы.