Question

Математика, др, допоможіть,будь ласка y' - ytgx = sec x

Answer 1

$y'-y{\rm tg}\, x=\sec x$

Умножим обе части уравнения на $\cos x$, получим

$y'\cos x-y\sin x=1\\ \\ \Big(y\cdot \cos x\Big)'=1\\ \\ \displaystyle y\cdot \cos x=\int dx\\ \\ y\cdot \cos x=x+C\\ \\ \boxed{y=(x+C)\sec x}$

Получили общее решение.

Answer 2

Звісно, я готовий допомогти вам з цим диференціальним рівнянням. Давайте спробуємо розв'язати його.

Дане диференціальне рівняння має вигляд:

y' - y * tg(x) = sec(x)

Це рівняння є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Ми можемо використати метод інтегруючого множника, щоб його розв'язати.

1. Перепишемо рівняння у вигляді:

y' - y * tg(x) - sec(x) = 0

2. Знайдемо інтегруючий множник, помноживши обидві сторони на інтегруючий множник μ(x):

μ(x) * y' - μ(x) * y * tg(x) - μ(x) * sec(x) = 0

Де μ(x) - інтегруючий множник, який потрібно знайти.

3. Пошук μ(x):

μ'(x) = -μ(x) * tg(x) - sec(x) μ(x) = e^(-∫(tg(x) dx)) * e^(-∫sec(x) dx) μ(x) = e^(-ln|cos(x)|) * e^(-ln|sec(x) + tg(x)|) μ(x) = 1/(|cos(x)| * |sec(x) + tg(x)|)

4. Помножимо обидві сторони диференціального рівняння на інтегруючий множник:

1/(|cos(x)| * |sec(x) + tg(x)|) * y' - y * tg(x) / (|cos(x)| * |sec(x) + tg(x)|) - sec(x) / (|cos(x)| * |sec(x) + tg(x)|) = 0

5. Зробимо підстановку, де замість y/x позначимо z:

z' - z = 0

Це рівняння має звичайний розв'язок:

z = C * e^x

де C - довільна константа.

6. Повернемося до позначення z і y:

z = y / (|cos(x)| * |sec(x) + tg(x)|)

y = C * e^x * (|cos(x)| * |sec(x) + tg(x)|)

Це є загальний розв'язок даного диференціального рівняння. Константу C можна знайти, враховуючи початкові умови або інші додаткові обмеження, якщо такі є.