Question

В правильном n-угольнике провели все диагонали. Всего получилось 120 диагоналей. Найдите значение n. Выборы ответов:16 , 17 , 18 , 19

Answer 1

Количество диагоналей n-угольника находиться по формуле:

$d = \frac{n(n - 3)}{2}$

Подставляем в формулу известное нам количество диагоналей и находим кол-во сторон n-угольника:

$\frac{n(n - 3)}{2} = 120 \\ {n}^{2} - 3n = 240 \\ {n}^{2} - 3n - 240 = 0 \\ D = {3}^{2} + 4 \times 240 = 969 \\ n = \frac{3 + \sqrt{969} }{2} ≈17$

Answer 2

Диагонали в n-угольнике можно провести из каждой вершины, соединяя её с каждой другой вершиной, кроме соседних. Если мы имеем n вершин, то количество диагоналей, проведенных из одной вершины, будет (n - 3), так как нам нужно исключить вершины саму вершину, её соседнюю справа и соседнюю слева.

Так как у нас всего 120 диагоналей, и каждая вершина соединена с (n - 3) другими вершинами, мы можем записать уравнение:

n * (n - 3) / 2 = 120

Решая это уравнение, мы получаем:

n * (n - 3) = 240

Раскроем скобки:

n^2 - 3n = 240

Получается квадратное уравнение:

n^2 - 3n - 240 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение:

(n - 16)(n + 15) = 0

Из этого видно, что либо n - 16 = 0 (тогда n = 16), либо n + 15 = 0 (тогда n = -15, что не имеет смысла в данном контексте).

Итак, правильный ответ: n = 16.