Question

Докажите, что среди любых 52 натуральных чисел найдутся два числа, либо разность, либо сумма которых делится на 101

Answer 1

Ответ:

Скорее всего что их не существует, потому-что оно наврятли будет делится на сто один, Ну забей в интернете может быть там что то найдешь получше , или гд

Answer 2

Доказательство этого утверждения можно провести с использованием принципа Дирихле.

Рассмотрим 52 натуральных числа: a₁, a₂, ..., a₅₂. Каждое из этих чисел можно представить в виде aᵢ = 101qᵢ + rᵢ, где qᵢ - целое число, а rᵢ - остаток от деления aᵢ на 101 (т.е. 0 ≤ rᵢ ≤ 100).

У нас есть 52 числа, а остатки могут принимать значения от 0 до 100. По принципу Дирихле, если мы разделим эти 52 числа на 101 возможных остатков, то по крайней мере два числа будут иметь одинаковые остатки (по принципу Дирихле это происходит, если количество "шаров" (чисел) больше, чем количество "корзин" (остатков), каждая из которых может содержать по одному "шару", иначе одна корзина обязательно будет содержать два "шара")).

Пусть aₖ и aⱼ (k ≠ j) имеют одинаковые остатки, т.е. rₖ = rⱼ. Тогда: aₖ = 101qₖ + rₖ aⱼ = 101qⱼ + rⱼ

Рассмотрим разность между этими двумя числами: aₖ - aⱼ = (101qₖ + rₖ) - (101qⱼ + rⱼ) = 101(qₖ - qⱼ)

Так как 101 является простым числом, то разность aₖ - aⱼ также будет делиться на 101.

Теперь рассмотрим сумму между этими двумя числами: aₖ + aⱼ = (101qₖ + rₖ) + (101qⱼ + rⱼ) = 101(qₖ + qⱼ) + (rₖ + rⱼ)

Если rₖ + rⱼ < 101, то сумма aₖ + aⱼ не делится на 101. Но если rₖ + rⱼ ≥ 101, то сумма aₖ + aⱼ также будет делиться на 101.

Таким образом, среди любых 52 натуральных чисел найдутся два числа, разность или сумма которых будет делиться на 101.