Question

При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение? 25^{x} -(8a+5)5^{x} +16a^2+20a-14=0

Answer 1

При каких значениях параметра a уравнение

(5ˣ)²  - (8a+5)*5ˣ +16a² +20a -14 =0   имеет единственное решение

Решение :  (5ˣ)²  - (8a+5)*5ˣ +16a² +20a -14 =0

квадратное уравнение относительно  t = 5ˣ >0  

t²  - (8a+5)t +16a² +20a +14 =0

D = (8a+5)² - 4(16a² +20a -14 )=64a² +80a +25 -64a² -80a+56 =81 =9² >0

т.е.  это уравнение всегда имеет 2 решения

Но  если  свободный член будет  отрицательно ,  то  корни будут разных знаков  и исходное уравнение будет  иметь одно решение

16a² +20a - 14 =16(a +7/4)(a - 1/2) < 0  ⇒  a ∈( -7/4 ; 1/2 )

НО ЕСЛИ     16a² +20a - 14 =0 , т.е.    a = -7/4  или a = 1/2  

получается  

5ˣ (5ˣ  - 8a - 5)  = 0    ⇒     5ˣ = 0  или   5ˣ  = 8a + 5

 5ˣ = 0  не имеет решение   5ˣ  = 8a +  5  имеет  решение  если

a >  - 5 / 8      ||    a = 1/2  удовлетворяет  ||

следовательно

Ответ:   a ∈( -7/4 ; 1/2 ]

5ˣ  = (8a+5 -9)/2 = 4a -2

5ˣ  = (8a+5 +9)/2 = 4a +7  

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В данном уравнении у нас x возводится в степени, что приводит к квадратному уравнению относительно 5^x. Поэтому перепишем уравнение, представив 5^x как y:

25^x - (8a + 5)5^x + 16a^2 + 20a - 14 = 0

y^2 - (8a + 5)y + 16a^2 + 20a - 14 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно y. Для того, чтобы у него было единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:

D = (8a + 5)^2 - 4 * 1 * (16a^2 + 20a - 14) = 0

Решим уравнение для a:

64a^2 + 80a + 25 - 64a^2 - 80a + 56 = 0

Упрощаем:

25 + 56 = 0

81 = 0

Таким образом, дискриминант не равен нулю при любых значениях параметра a. Это означает, что уравнение не имеет единственного решения для любого значения a.