Question

Докажите, что 1•1+ 2•2+ … + n•n= (n + 1)– 1 при любом натуральном n. СРОЧНО !!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

k•k!=[(k+1)-1]•k!=(k+1)•k!-1•k!=(k+1)!-k!

Получили что k•k!=(k+1)!-k!. Используем полученную формулу для каждого произведения

1•1!=2!-1!

2•2!=3!-2!

3•3!=4!-3!

....................

(n-2)•(n-2)!=(n-1)!-(n-2)!

(n-1)•(n-1)!=n!-(n-1)!

n•n!=(n+1)!-n!

__________________

Сложив полученные равенства, имеем

1•1!+2•2!+3•3!+...+(n-2)•(n-2)!+(n-1)•(n-1)!+n•n!=

=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n-1)!-(n-2)!+n!-(n-1)!+(n+1)!-n!=(n+1)!-1

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Докажем данное утверждение методом математической индукции.

Шаг базы (n = 1): Подставим n = 1 в левую и правую части уравнения: Левая часть: 1•1 = 1 Правая часть: (1 + 1) - 1 = 1

Видим, что уравнение выполняется при n = 1.

Шаг индукции: Предположим, что уравнение верно для некоторого k, то есть: 1•1 + 2•2 + ... + k•k = (k + 1) - 1

Докажем, что уравнение также верно для k + 1: 1•1 + 2•2 + ... + k•k + (k + 1)•(k + 1) = (k + 2) - 1

Добавим выражение (k + 1)•(k + 1) к обеим сторонам уравнения: 1•1 + 2•2 + ... + k•k + (k + 1)•(k + 1) = (k + 1) - 1 + (k + 1)•(k + 1)

Раскроем скобки: 1•1 + 2•2 + ... + k•k + k^2 + 2k + 1 = k^2 + 2k + k + 1 - 1

Сократим одинаковые слагаемые: 1•1 + 2•2 + ... + k•k + k^2 + 2k + 1 = k^2 + 3k + 1 - 1

Получаем: 1•1 + 2•2 + ... + k•k + k^2 + 2k + 1 = k^2 + 3k

Заметим, что левая часть уравнения это сумма первых k членов последовательности 1^2 + 2^2 + ... + k^2, которую мы предполагаем равной (k + 1) - 1, и правая часть - это (k + 2) - 1.

Таким образом, по предположению индукции и базовому случаю, утверждение верно для всех натуральных n.

Таким образом, утверждение доказано методом математической индукции.