Question

Площадь прямоугольника составляет 16 кв. см.Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр был наименьшим?

Answer 1

Ответ:

Если площадь прямоугольника равна 16 см², то его стороны могут равняться:

16 и 1, при этом периметр будет = (16+1)*2= 34 см

8 и 2, периметр = (8+2)*2 = 20 см

4 и 4, периметр = (4+4)*2= 16 см

Отсюда видим, что размеры прямоугольника с наименьшим периметром равны 4 и 4 см

Answer 2

Х- длина, 16/х - ширина. Р=2(х+16/х) . Производная от Р= 2(1-16/х^2) Приравниваем производную к нулю, находим х=4. Это точка минимума. Длина и ширина получаются 4 см - это квадрат.

Answer 3

Чтобы найти размеры прямоугольника с наименьшим периметром при заданной площади, воспользуемся методом оптимизации.

Пусть стороны прямоугольника имеют длины x и y (в см). Тогда его площадь равна xy (кв. см), и периметр равен P = 2x + 2y (см).

Мы знаем, что площадь составляет 16 кв. см, т.е. xy = 16.

Теперь можем выразить одну переменную через другую, чтобы свести задачу к оптимизации функции одной переменной. Решим уравнение площади:

xy = 16

y = 16 / x

Теперь заменим y в уравнении периметра:

P = 2x + 2y P = 2x + 2(16 / x) P = 2x + 32 / x

Теперь у нас есть формула для периметра в зависимости от x. Чтобы найти наименьший периметр, найдем минимум функции P(x) путем дифференцирования и приравнивания производной к нулю:

dP/dx = 2 - 32 / x^2 = 0

Решим это уравнение:

2 = 32 / x^2

x^2 = 32 / 2

x^2 = 16

x = √16

x = 4

Теперь найдем соответствующее значение y:

y = 16 / x

y = 16 / 4

y = 4

Таким образом, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим при заданной площади 16 кв. см, его размеры должны быть 4 см и 4 см.