Question

Решение показательных и тригонометрических уравнений и систем уравнений 1) log_11⁡(x+2)+log_11⁡(x-2)=log_11 (2х-1) 2) log_2⁡х^2=log_2⁡2+log_2⁡18 3) log_4^2 x-4 log_4⁡x+3=0

Answer 1

Ответ:

а вот запись третьего уравнения мне непонятна

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности:

1. log_11⁡(x+2) + log_11⁡(x-2) = log_11 (2x-1)

Для начала, применим свойство логарифма log_a⁡(b) + log_a⁡(c) = log_a⁡(b * c):

log_11⁡((x+2)(x-2)) = log_11 (2x-1)

Теперь используем тот факт, что если log_a⁡(b) = log_a⁡(c), то b = c:

(x+2)(x-2) = 2x-1

Раскроем скобки:

x^2 - 2x + 2x - 4 = 2x - 1

Упростим:

x^2 - 4 = 2x - 1

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь это квадратное уравнение. Решим его, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант D > 0, у нас есть два корня:

x = (-b + √D) / 2a и x = (-b - √D) / 2a

x = (2 + √16) / 2 и x = (2 - √16) / 2

x = (2 + 4) / 2 и x = (2 - 4) / 2

x = 6 / 2 и x = -2 / 2

x = 3 и x = -1

Ответ: x = 3 и x = -1.

2. log_2⁡(x^2) = log_2⁡2 + log_2⁡18

Снова используем свойство логарифма log_a⁡(b) + log_a⁡(c) = log_a⁡(b * c):

log_2⁡(x^2) = log_2⁡(2 * 18)

log_2⁡(x^2) = log_2⁡36

Теперь применяем свойство log_a⁡(b) = c, то есть a^c = b:

x^2 = 36

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

x = ±√36

x = ±6

Ответ: x = 6 и x = -6.

3. log_4⁡(x^2) - 4 log_4⁡(x) + 3 = 0

Мы можем использовать тот же подход, что и в предыдущих уравнениях:

log_4⁡(x^2) = 4 log_4⁡(x) - 3

log_4⁡(x^2) = log_4⁡(x^4) - 3

Теперь применяем свойство log_a⁡(b) = c, то есть a^c = b:

x^2 = x^4 - 3

Переносим все члены в одну сторону:

x^4 - x^2 + 3 = 0

Данное уравнение является биквадратным уравнением, которое можно решить заменой переменной:

Пусть u = x^2, тогда уравнение примет вид:

u^2 - u + 3 = 0

Это квадратное уравнение не имеет вещественных корней, так как его дискриминант D = b^2 - 4ac = 1 - 4 * 1 * 3 = -11, а D < 0.

Следовательно, уравнение log_4⁡(x^2) - 4 log_4⁡(x) + 3 = 0 не имеет вещественных решений.