Question

Из точки, взятой вне плоскости, проведены две наклонные к этой плоскости , длины которых 10 см и 7 см. Проекции этих наклонных на плоскость относятся, как 6:√15. Определить расстояние от этой точки до плоскости.

Answer 1

Ответ:

(2√154)/7 см

Пошаговое объяснение:

SC=10 см, SB=7 см, AC:AB=6:√15

AC=6k см; AB=√15k см

SA⊥ABC⇒SA⊥AB; SA⊥AC⇒∠SAB=∠SAC=90°

По теореме Пифагора:

SA²=SC²-AC²=10²-(6k)²=100-36k²

SA²=SB²-AB²=7²-(√15k)²=49-15k²

SB²-AB²=SC²-AC²⇒100-36k²=49-15k²

21k²=51

k²=51/21=17/7

SA²=100-36k²=100-36·(17/7)=88/7

SA=√(88/7)=(2√154)/7

Answer 2

Пусть данная точка вне плоскости обозначается как A, а две наклонные как AB и AC, где B и C - точки пересечения наклонных с плоскостью.

Длины наклонных: AB = 10 см, AC = 7 см.

Проекции наклонных на плоскость: AB' : AC' = 6 : √15.

Нам известно, что проекции наклонных относятся как 6 : √15. Давайте обозначим длины проекций как AB' = 6x и AC' = √15x (где x - некоторый коэффициент масштабирования).

Теперь у нас есть подобие треугольников ABC и AB'C'. По условию, эти треугольники подобны:

AB' / AB = AC' / AC.

Подставляем известные значения:

6x / 10 = √15x / 7.

Теперь решим это уравнение относительно x:

6x * 7 = 10 * √15x, 42x = 10√15x.

Делим обе стороны на x:

42 = 10√15, √15 = 42 / 10, √15 = 4.2.

Теперь, когда мы знаем значение x, можем найти длину проекции AB':

AB' = 6x = 6 * 4.2 = 25.2 см.

Из полученных данных мы видим, что проекция AC' = √15x = 4.2 * √15 = 18.3 см.

Теперь, чтобы найти расстояние от точки A до плоскости, можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABC:

AC² = AB'² + BC².

Где BC - расстояние от точки B до плоскости. Заметим, что треугольники ABC и AB'C' подобны, поэтому также верно:

BC / AC = BC' / AB', BC = (BC' / AB') * AC.

Подставляем известные значения:

BC = (18.3 / 25.2) * 7, BC ≈ 5.12 см.

Теперь можем применить теорему Пифагора:

AC² = AB'² + BC², 7² = 25.2² + 5.12², 49 = 635.04 + 26.18, 49 ≈ 661.22.

Теперь находим корень из этого значения:

AC ≈ √661.22 ≈ 25.7 см.

Итак, расстояние от точки A до плоскости примерно равно 25.7 см.