Question

Найти промежутки возрастания и убывания функций: а) f(x)=4x-5 (учтите, это ЛИНЕЙНАЯ функция), б) f(x)=3-0,5x (тоже ЛИНЕЙНАЯ), в) f(x)=1-2:x (подсказка! График-гипербола, смещенная вверх), г) f(x)=(x-3):x (тоже... гипербола)

Answer 1

Ответ:

А) f(x)=4x-5 - возрастает на всей своей области определения (-∞;+∞)

Б) Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = -0.5

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

0.5 ≠ 0

Для данного уравнения корней нет.

в)

(-∞ ;0)                                      (0; +∞)

f'(x) > 0                                     f'(x) > 0

функция возрастает функция возрастает

г)

(-∞ ;0)                                       (0; +∞)

f'(x) > 0                                     f'(x) > 0

функция возрастает функция возрастает

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функций, давайте проанализируем производные каждой из функций. Помните, что линейные функции имеют постоянный наклон, их производные всегда являются константами.

а) f(x) = 4x - 5: Производная f'(x) = 4 (константа). Так как производная положительна (f'(x) > 0) для любого x, это означает, что функция всегда возрастает.

б) f(x) = 3 - 0.5x: Производная f'(x) = -0.5 (константа). Так как производная отрицательна (f'(x) < 0) для любого x, это означает, что функция всегда убывает.

в) f(x) = 1 - 2/x: Производная f'(x) = 2/x^2. Производная положительна (f'(x) > 0) для x > 0, и отрицательна (f'(x) < 0) для x < 0. Так как функция f(x) представляет собой гиперболу, она возрастает на интервале (0, +∞) и убывает на интервале (-∞, 0).

г) f(x) = (x - 3)/x: Производная f'(x) = 1 - 3/x^2. Производная положительна (f'(x) > 0) для x > √3, и отрицательна (f'(x) < 0) для x < √3. Так как функция f(x) также представляет собой гиперболу, она возрастает на интервале (√3, +∞) и убывает на интервале (-∞, √3).

Итак, для каждой из данных функций:

а) f(x) = 4x - 5: Функция всегда возрастает. б) f(x) = 3 - 0.5x: Функция всегда убывает. в) f(x) = 1 - 2/x: Функция возрастает на интервале (0, +∞) и убывает на интервале (-∞, 0). г) f(x) = (x - 3)/x: Функция возрастает на интервале (√3, +∞) и убывает на интервале (-∞, √3).