Question

Найдите область определения функции y=x−1−−−−√+arcsin(2x−10).

Answer 1

функция арксинус определена на отрезке [-1;1], значит функция arcsin(x^2-x) определена, когда значение x^2-x принадлежит этому отрезку.

-1<=x^2-x<=1

x^2-x-1<=0 и x^2-x+1>=0

x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4 всегда больше нуля, остаётся проверить, когда x^2-x-1<=0

Уравнение x^2-x-1=0 имеет корни (1+-\/5)/2

Коэффициент при x^2 больше нуля, а потому x^2-x-1<=0, при (1-\/5)/2<=x<=(1+\/5)/2

Ответ: на отрезке [(1-\/5)/2;(1+\/5)/2]

Answer 2

Для определения области определения функции нужно обратить внимание на два аспекта: корень и арксинус.

1. Корень: Функция $\sqrt{x}$ определена только для неотрицательных значений $x$, то есть $x \geq 0$. В данном случае у нас есть $\sqrt{x-1}$, следовательно, $x-1 \geq 0$, откуда $x \geq 1$.

2. Арксинус: Функция $\arcsin(x)$ определена только в интервале $[-1, 1]$. В данном случае у нас есть $\arcsin(2x-10)$, следовательно, $2x-10$ должно быть в этом интервале: $-1 \leq 2x-10 \leq 1$.

Теперь объединим оба ограничения:

$$\begin{align*} & x \geq 1, \\ & -1 \leq 2x-10 \leq 1. \end{align*}$$

Решим неравенство $2x-10 \leq 1$:

$$\begin{align*} 2x-10 & \leq 1 \\ 2x & \leq 11 \\ x & \leq \frac{11}{2}. \end{align*}$$

Таким образом, условия для области определения функции - $x \geq 1$ и $x \leq \frac{11}{2}$. С учетом этих ограничений, область определения функции $y = x - \sqrt{x-1} + \arcsin(2x-10)$ будет $[1, \frac{11}{2}]$.