Question

Дано точки А (-4; 1; 2), В (-2; 0; -1) і С (1; 1; 0). Знайдіть координати точки D, яка належить площині yz, такої, що вектори АВ і СD є колінеарними.

Answer 1

Даны точки А (-4; 1; 2), В (-2; 0; -1) и С (1; 1; 0).

Примем координаты точки Д(0; y; z).

Векторы: АВ = (2; -1; -3),

                СД = (-1; (y - 1); z).

Условие коллинеарности двух векторов :

если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

к = -1/2.

y - 1 = -1*(-1/2) = 1/2,   y = 1 + (1/2) = 3/2.

z = -3*(-1/2) = 3/2.

Ответ: точка Д(0; (3/2); (3/2)).

Answer 2

Для того чтобы найти точку D, которая принадлежит плоскости yz и такую, что векторы AB и CD коллинеарны, нам нужно сначала найти направляющий вектор в плоскости yz, а затем найти координаты точки D так, чтобы векторы AB и CD были коллинеарны.

1. Направляющий вектор в плоскости yz: Поскольку плоскость yz параллельна плоскости x = 0, её направляющим вектором будет (0, 1, 0).

2. Нахождение точки D: Поскольку вектор AB (-2 + 4, 0 - 1, -1 - 2) = (2, -1, -3), а вектор CD (x - 1, y - 1, z - 0) (где x, y и z - координаты точки D), должен быть коллинеарен вектору AB, то есть пропорционален ему.

Это означает, что отношения координат точки D к соответствующим координатам вектора AB будут равны:

scssCopy code
(x - 1) / 2 = (y - 1) / -1 = (z - 0) / -3

Выберем первое соотношение (x - 1) / 2 = (y - 1) / -1 и решим его относительно x:

scssCopy code
x - 1 = -2(y - 1)
x - 1 = -2y + 2
x = -2y + 3

Теперь второе соотношение (x - 1) / 2 = (z - 0) / -3:

scssCopy code
x - 1 = -6(z - 0)
x - 1 = -6z

Мы получили систему уравнений:

makefileCopy code
x = -2y + 3
x = -6z + 1

Из этой системы уравнений можем выразить z через y:

diffCopy code
-2y + 3 = -6z + 1
-6z = -2y + 2
z = (1/3)y - 1/3

Таким образом, координаты точки D в плоскости yz будут (x, y, z) = (-2y + 3, y, (1/3)y - 1/3).