Question

Исследовать несобственный ряд на сходимость |3 0 dx/sqrt(81-x^4)

Answer 1

Ответ:

2430dqrstx-30dqrstx^5

Answer 2

Давайте рассмотрим несобственный интеграл исходной функции:

$\int_{0}^{\infty} \frac{3 \, dx}{\sqrt{81 - x^4}}$

Для исследования сходимости данного интеграла можно воспользоваться методом сравнения. Сначала давайте оценим поведение подынтегральной функции вблизи бесконечности и близи $x = 0$.

1. При $x \rightarrow \infty$: Как $x$ увеличивается, $x^4$ возрастает гораздо быстрее, чем 81. Это означает, что подкоренное выражение $81 - x^4$ будет положительным и близким к 81. Таким образом, функция $\frac{3}{\sqrt{81 - x^4}}$ будет ограничена сверху некоторой константой.

2. При $x \rightarrow 0$: При $x \rightarrow 0$ подкоренное выражение $81 - x^4$ стремится к 81. Это означает, что функция $\frac{3}{\sqrt{81 - x^4}}$ будет ограничена снизу некоторой константой.

Итак, мы можем сделать вывод, что подынтегральная функция ограничена как сверху, так и снизу некоторыми константами. Это позволяет нам провести метод сравнения с интегралом, который мы знаем сходится, например, сходящимся интегралом $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$.

Таким образом, можем записать неравенство:

$0 \leq \frac{3}{\sqrt{81 - x^4}} \leq \frac{3}{\sqrt{x^4}} = \frac{3}{x^2}$

Интеграл $\int_{0}^{\infty} \frac{3}{x^2} \, dx$ сходится, поэтому, согласно методу сравнения, исходный интеграл

$\int_{0}^{\infty} \frac{3 \, dx}{\sqrt{81 - x^4}}$

также сходится.