Question

При каком наименьшем значени к, корни уровнения х^2+кх-18=0 будут целыми числами​

Answer 1

$x^2+kx-18=0\\D = k^2 + 72 = n^2; n,k \in Z\\k = \pm3 => k^2+72 = 81 = 9^2$

Ответ: k = -3

Answer 2

Для того чтобы корни уравнения $x^2 + kx - 18 = 0$ были целыми числами, дискриминант этого уравнения должен быть квадратом целого числа. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = k$, $c = -18$.

Таким образом, условие для целочисленных корней будет выглядеть как $D = k^2 + 72m^2$, где $m$ - целое число.

Наименьшее значение $k$ можно найти, подставляя последовательно значения $m = 0, 1, 2, \ldots$ и проверяя, является ли $k^2 + 72m^2$ квадратом целого числа.

Начнем с $m = 0$: $D = k^2 + 72 \cdot 0^2 = k^2$

Таким образом, чтобы получить наименьшее значение $k$, при котором корни уравнения являются целыми числами, $k$ должно быть квадратом целого числа. Мы можем начать с $k = 1$ и последовательно увеличивать его значение до тех пор, пока $k^2$ не будет удовлетворять условию.

Найдем наименьшее значение $k$, для которого $k^2$ будет квадратом целого числа:

$$\begin{align*} k = 1 & : k^2 = 1^2 = 1 \quad \text{(не является квадратом целого числа)} \\ k = 2 & : k^2 = 2^2 = 4 \quad \text{(является квадратом целого числа)} \end{align*}$$

Таким образом, наименьшее значение $k$, при котором корни уравнения $x^2 + kx - 18 = 0$ будут целыми числами, равно $k = 2$.