Question

Имеются две параллельные прямые на одной из которых отмечены 5 точек, на другой 3. Сколько треугольников можно построить, с вершинами в этих точках​

Answer 1

Для построения треугольника нужно взять 3 точки. Эти точки не могут лежать на одной прямой. Чтобы построить треугольник, нужно брать две точки на одной прямой и одну точку на другой.

Рис. 1. На прямой b отмечено 5 точек. Первую точку можно выбрать 5 способами, вторую точку можно выбрать из 4 оставшихся. Так как для треугольника не важно, в каком порядке выбраны вершины, пары точек А,В   и   В,А  равнозначны. Тогда всего вариантов выбрать 2 точки из 5

$\dfrac{5\cdot 4}2=10$

Либо по формуле сочетаний 2 из 5

$C_5^2=\dfrac {5!}{2!\cdot (5-2)!}=\dfrac{2\cdot 3\cdot4\cdot5}{2\cdot2\cdot3}=2\cdot5=10$

Для каждой пары точек на прямой b, например, для пары В,С, можно выбрать одну из трёх точек, отмеченных на прямой m. Получится 3 треугольника :  ΔBCM, ΔBCN, ΔBCK.

Всего треугольников из 2 точек на прямой b и одной точки на прямой m можно построить 10 · 3 = 30.

Рис. 2. На прямой m отмечено 3 точки. Выбрать две из них можно тремя способами : M,N  или  M,K  или  N,K. Для каждой пары можно подобрать одну из пяти точек, отмеченных на прямой b. На рисунке показаны треугольники для пары точек M,N.

Всего треугольников из двух точек на прямой m и одной точки на прямой b можно построить 3 · 5 = 15.

30 + 15 = 45

Ответ : 45 треугольников

Answer 2

Чтобы построить треугольник с вершинами в данных точках, нужно выбрать 3 точки из 8 общих (5 на одной прямой и 3 на другой). Это можно сделать по формуле сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Где n - общее количество точек (8), k - количество точек, которые нужно выбрать (3).

C(8, 3) = 8! / (3! * (8 - 3)!) = 56

Таким образом, можно построить 56 треугольников с вершинами в данных точках.