Question

Найдите первообразную функции: 1. ƒ(x)=6x-sinх; 2. ƒ(x)=3sinx-x; 3. ƒ(x)=cosx+4.

Answer 1

1) f’(x)= 6 - cosx
2) f’(x) = 3cosx - 1
3) f’(x) = -sinx

Answer 2

Давайте найдем первообразные для данных функций:

1. $f(x) = 6x - \sin(x)$

Для нахождения первообразной данной функции, возьмем интеграл от каждого слагаемого по отдельности:

$\int (6x - \sin(x)) \, dx = \int 6x \, dx - \int \sin(x) \, dx$

Интеграл от $6x$ по $x$ равен $3x^2 + C_1$, где $C_1$ - произвольная константа интегрирования.

Интеграл от $-\sin(x)$ по $x$ равен $\cos(x) + C_2$, где $C_2$ - еще одна произвольная константа интегрирования.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = 6x - \sin(x)$ будет:

$F(x) = 3x^2 + \cos(x) + C,$

где $C = C_1 + C_2$ - общая константа интегрирования.

2. $f(x) = 3\sin(x) - x$

Аналогично разобьем интеграл на два члена:

$\int (3\sin(x) - x) \, dx = \int 3\sin(x) \, dx - \int x \, dx$

Интеграл от $3\sin(x)$ по $x$ равен $-3\cos(x) + C_1$.

Интеграл от $-x$ по $x$ равен $-\frac{x^2}{2} + C_2$.

Итак, первообразная функции $f(x) = 3\sin(x) - x$ будет:

$F(x) = -3\cos(x) - \frac{x^2}{2} + C,$

где $C = C_1 + C_2$.

3. $f(x) = \cos(x) + 4$

Интеграл от $\cos(x)$ по $x$ равен $\sin(x) + C_1$.

Интеграл от константы $4$ по $x$ равен $4x + C_2$.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = \cos(x) + 4$ будет:

$F(x) = \sin(x) + 4x + C,$

где $C = C_1 + C_2$.