Question

Докажите тождество : cos2a (1+tg2a) - sin2a= cos2a

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дополнительные формулы: 1+tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha }  \\ 1-\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha  

\cos^2 \alpha (1+tg^2 \alpha )-\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha  \\ \cos^2 \alpha \cdot  \frac{1}{\cos^2 \alpha } -\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha  \\ 1-\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha  \\ \cos^2 \alpha =\cos^2 \alpha

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и попробуем упростить выражение:

Левая сторона: cos^2(a) * (1 + tan^2(a)) - sin^2(a)

Используем тригонометрическое тождество: tan^2(a) + 1 = sec^2(a)

Заменяем tan^2(a) в выражении: cos^2(a) * (sec^2(a)) - sin^2(a)

Используем тригонометрическое тождество: sec^2(a) = 1 + tan^2(a)

Заменяем sec^2(a) в выражении: cos^2(a) * (1 + tan^2(a)) - sin^2(a)

Теперь у нас есть: cos^2(a) * (1 + tan^2(a)) - sin^2(a) = cos^2(a) * sec^2(a) - sin^2(a)

Используем тригонометрическое тождество: sec^2(a) - sin^2(a) = 1

Подставляем в выражение: cos^2(a) * sec^2(a) - sin^2(a) = cos^2(a) * 1 - sin^2(a)

Упрощаем: cos^2(a) - sin^2(a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Таким образом, мы доказали исходное тождество.