Question

Найти интервалы монотонности функции f(x)=(6+16x^2)/x.

Answer 1

Монотонность функции.

Фото

Answer 2

Давайте проанализируем интервалы монотонности функции $f(x) = \frac{6 + 16x^2}{x}$. Для этого нам понадобятся производные функции и знание их знаков.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f(x) = \frac{6 + 16x^2}{x}$

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{6 + 16x^2}{x}\right)$ $f'(x) = \frac{(16x^2 + 6) \cdot x - (6 + 16x^2) \cdot 1}{x^2}$ $f'(x) = \frac{16x^3 + 6x - 6 - 16x^2}{x^2}$ $f'(x) = \frac{16x^3 - 16x^2 + 6x - 6}{x^2}$

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю:

$16x^3 - 16x^2 + 6x - 6 = 0$

Данное уравнение не имеет простых аналитических корней, поэтому мы можем воспользоваться численными методами для его решения или проанализировать поведение производной и функции в окрестности нуля.

Мы видим, что производная $f'(x)$ является рациональной функцией, и в данном случае она не сокращается с $x$. Это означает, что ноль не может быть корнем этой производной. Таким образом, у функции нет критических точек.

Теперь давайте проанализируем знак производной на различных интервалах:

1. Когда $x < 0$:
   Подставляя отрицательное значение $x$ в $f'(x)$, получаем положительный числитель и отрицательный знаменатель, следовательно, $f'(x) > 0$.

2. Когда $x > 0$:
   Подставляя положительное значение $x$ в $f'(x)$, получаем положительный числитель и положительный знаменатель, следовательно, $f'(x) > 0$.

Итак, производная $f'(x)$ положительна на всей числовой прямой за исключением $x = 0$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Итак, интервалы монотонности функции $f(x) = \frac{6 + 16x^2}{x}$ следующие:

• Убывает на интервале $(-\infty, 0)$
• Возрастает на интервале $(0, +\infty)$