Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x^3-27x+3 на промежутке [-4;4]

Answer 1

Вычислим производную, чтобы посмотреть промежутки возрастания и убывания.

y' = 3x^2-27 = 3(x^2-9) = 3(x-3)(x+3).

-3 и 3 нули производной.

Функция убывает на промежутке от -3 до 3, а в остальных случаях - возрастает.

Точка -3 меняет знак с плюса на минуса, значит в точке -3 функция принимает наибольшее значение. А точка -3 меняет знак с минуса на плюс, значит данная точка - минимум.

Подставим в исходную функцию значение 3 и минус 3 и вычислим значение.

f(-3) = 27+81+3 = 111  max

f(3) = 27-81+3 = -51 min

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $y = x^3 - 27x + 3$ на промежутке $[-4, 4]$, мы должны проанализировать поведение функции на этом промежутке. Поскольку данная функция является кубической функцией, она имеет одну ветвь, которая может быть направлена вверх или вниз в зависимости от коэффициента при $x^3$.

1. Найдем критические точки функции, то есть точки, где производная равна нулю: $y = x^3 - 27x + 3$

$y' = 3x^2 - 27$

Решим уравнение $3x^2 - 27 = 0$:

$3x^2 = 27$ $x^2 = 9$ $x = \pm 3$

Критические точки: $x = -3$ и $x = 3$.

2. Теперь найдем значение функции в этих точках и на концах интервала $[-4, 4]$:

$y(-4) = (-4)^3 - 27(-4) + 3 = -64 + 108 + 3 = 47$ $y(-3) = (-3)^3 - 27(-3) + 3 = -27 + 81 + 3 = 57$ $y(3) = 3^3 - 27(3) + 3 = 27 - 81 + 3 = -51$ $y(4) = 4^3 - 27(4) + 3 = 64 - 108 + 3 = -41$

Таким образом, на промежутке $[-4, 4]$, наименьшее значение функции $y$ равно -51 (достигается в точке $x = 3$), а наибольшее значение равно 57 (достигается в точке $x = -3$).