Question

Решить тригонометрическое уравнение 2cos2x – cos x – 1 = 0.

Answer 1

Найдем точное значение, используя тригонометрические тождества

х = 2.4188584 + 2π n, 3.8643269 + 2πn, 2πn для всех целых n

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения, давайте введем временную переменную: пусть $t = \cos(x)$. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Теперь давайте решим это квадратное уравнение относительно $t$. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением $at^2 + bt + c = 0$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В нашем случае $a = 2$, $b = -1$ и $c = -1$. Подставляем значения:

$t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}$ $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$ $t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}$ $t = \frac{1 \pm 3}{4}$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для $t$:

1. $t = \frac{1 + 3}{4} = 1$
2. $t = \frac{1 - 3}{4} = -0.5$

Теперь нам нужно найти значения $x$, которые соответствуют этим значениям $t$, используя обратные тригонометрические функции.

1. Когда $t = 1$, то $\cos(x) = 1$. Это имеет место при $x = 0 + 2\pi k$, где $k$ - целое число.
2. Когда $t = -0.5$, то $\cos(x) = -0.5$. Это имеет место, например, при $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Итак, решения исходного уравнения $2\cos(2x) - \cos(x) - 1 = 0$ на интервале от $0$ до $2\pi$ это:

1. $x = 0$
2. $x = \frac{2\pi}{3}$
3. $x = \frac{4\pi}{3}$

Или можно записать общее решение с помощью целых чисел $k$:

$x = 0 + 2\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

где $k$ - целое число.