Question

Помогите пожалуйста y"+4y=3e^2x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:y'' + 4y = 3·e²ˣ

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = e^(rx). Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r²+4 r + 0 = 0

D=16 - 4·1·0=16

Kорни характеристического уравнения:

r₁= 0

r₂= -4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y₁ = e⁰ˣ

y₂= e⁻⁻⁴ˣ

Общее решение однородного уравнения имеет вид: у=С₁+С₂е⁻⁻⁴ˣ, где С- const; Рассмотрим правую часть:

f(x) = 3*e :(2*x )

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы  имеет частное решение

y(x) = x^k ·e^(αx)·(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 3, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y = Ae^(2x)

Вычисляем производные:

y' = 2·A·e^(2x )        y'' = 4·A·e^(2x )

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 4y' = (4·A·e^(2x) + 4(2·A·e^(2x) )= 3·e^(2·x ) или

12·A·e^(2x) = 3·e^(2·x )

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:     12A = 3

Решая ее, находим:

A = 1/4;

Частное решение имеет вид:

y=1/4 ·e^(2x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: у=С₁+ С₂е⁻⁻⁴ˣ  + 1/4 ·e^(2x)

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение второго порядка с constanтыми коэффициентами:

y'' + 4y = 3e^(2x).

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Сначала найдем общее решение однородной части y'' + 4y = 0:

Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения: r^2 + 4 = 0.

Решим это уравнение для r:

r^2 = -4, r = ±2i.

Общее решение однородной части: y_h(x) = C1 * cos(2x) + C2 * sin(2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородной части y'' + 4y = 3e^(2x) методом вариации постоянных:

Предположим, что частное решение имеет вид: y_p(x) = A * e^(2x).

Подставим это в уравнение: y_p''(x) + 4 * y_p(x) = A * 4 * e^(2x) + 4 * A * e^(2x) = 8A * e^(2x).

Так как правая часть уравнения равна 3e^(2x), то получим: 8A * e^(2x) = 3e^(2x).

Следовательно, A = 3/8.

Частное решение: y_p(x) = (3/8) * e^(2x).

Теперь общее решение исходного неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1 * cos(2x) + C2 * sin(2x) + (3/8) * e^(2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.