Question

Постройте эскиз графика функции f(x)=1/9x^3-x^2.Используя его, определите число корней уравнения f(x)=-1

Answer 1

Ответ:

1) f'(x)=(1/3)x²-2x

2) f'(x)=0, (1/3)x²-2x=0, x²-6x=0, x(x-6)=0, x1=0, x2=6, критические точки

3)x∈(-∞; 0)∪(6;+∞), f'(x)>0, f(x)↑, функция возрастает, т.к. поизводная положительна

  x∈(0; 6), f'(x)<0, f(x)↓, убывает, т.к. производная отрицательна на этом промежутке

4) x=0, x - max, f(0)=0

    x=6, x- min, f(6)=(1/9)*6³-6²=6²((1/9)*6-1)=36*(2/3-1)=36*(-1/3)=-12

Из графика видно, что уравнение (1/9)х³-х²=-1 имеет три корня

Пошаговое объяснение:

Извини рисунка нет!

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с этим. Давайте сначала построим эскиз графика функции $f(x) = \frac{1}{9}x^3 - x^2$:

Для начала, давайте определим поведение функции на интервалах, и найдем её корни:

1. Вычислим производную функции: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{9}x^3 - x^2 \right)$.

2. Найдем точки, где производная равна нулю: $f'(x) = 0$. Это поможет нам определить экстремумы функции и точки перегиба.

3. Проанализируем знак производной на интервалах между найденными точками.

4. Определим, как меняется знак функции $f(x)$ на основе производной.

5. Найдем точки пересечения графика функции с осью $y$ (когда $x = 0$).

6. Нарисуем эскиз графика на основе этой информации.

Теперь, давайте выполним эти шаги:

1. Производная функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{9}x^3 - x^2 \right) = \frac{1}{3}x^2 - 2x$.

2. Найдем точки, где производная равна нулю: $\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0$. $x \left( \frac{1}{3}x - 2 \right) = 0$. $x = 0$ или $\frac{1}{3}x - 2 = 0$. $x = 0$ или $x = 6$.

3. Проанализируем знак производной на интервалах:

   • Для $x < 0$, $f'(x) < 0$ (отрицательная производная).
   • Для $0 < x < 6$, $f'(x) > 0$ (положительная производная).
   • Для $x > 6$, $f'(x) > 0$ (положительная производная).

4. Знак функции $f(x)$ на основе производной:

   • Между корнями $x = 0$ и $x = 6$, функция $f(x)$ убывает (знак производной отрицателен).
   • Для $x < 0$ и $x > 6$, функция $f(x)$ возрастает (знак производной положителен).

5. Точка пересечения с осью $y$: $f(0) = 0$.

Теперь, давайте построим эскиз графика:

diffCopy code
  |
  |      *
  |     *             *
  |   *                 *
  |  *                   *
  | *                     *
--+-----------------------------------
       0        6

На графике видно, что функция имеет один корень на интервале $(0, 6)$, так как она пересекает ось $x$ в этом интервале. Аналитически, $f(x) = -1$ может иметь только один корень в этом интервале.

Итак, уравнение $f(x) = -1$ имеет один корень на интервале $(0, 6)$.