Question

Исследуйте функцию и постройте ее график: y=3x^3-x

Answer 1

Анализ функции, таблица точек и график приведены во вложении.

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам исследовать функцию y = 3x^3 - x и построить её график.

Функция y = 3x^3 - x является полиномиальной функцией третьей степени. Давайте рассмотрим некоторые аспекты этой функции:

1. Нули функции (корни уравнения y = 0): Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x^3 - x = 0: 3x^3 - x = x(3x^2 - 1) = 0 Это уравнение имеет два корня: x = 0 и 3x^2 - 1 = 0, что дает x = ±1/√3. Таким образом, у функции есть три нуля: x = -1/√3, x = 0 и x = 1/√3.

2. Производная функции: Вычислим производную функции y = 3x^3 - x: y' = 9x^2 - 1 Производная позволяет определить экстремумы и поведение функции.

3. Интервалы возрастания и убывания: Проанализируем знак производной, чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции. Решим неравенство 9x^2 - 1 > 0: 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) > 0 Это неравенство выполняется на интервалах (-∞, -1/3) и (1/3, ∞), что означает, что функция возрастает на этих интервалах.

4. Экстремумы: Производная обращается в ноль при x = ±1/3. Можно использовать вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами. y'' = 18x, и при x = ±1/3 вторая производная не равна нулю, следовательно, это точки минимума и максимума.

5. Выпуклость и вогнутость: Производная меняет знак при x = ±1/3. Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале (-∞, -1/3) и вогнутая вверх на интервале (-1/3, ∞).

Теперь построим график функции:

На графике выше представлена функция y = 3x^3 - x на интервале от -2 до 2. Вы можете видеть, как функция пересекает ось x в точках x = -1/√3, x = 0 и x = 1/√3, и как меняет своё поведение на разных интервалах.