Question

Знайти первісну ф-ції 8/корінь 4х+1, графік якої проходить через точку М(2;14) найти первообразную ф-ции 8/корень 4х+1, график которой проходит через точку М(2;14)

Answer 1

Ответ:

F(x)=4×√(4x+1)+2

Пошаговое объяснение:

$f(x) = \frac{8}{ \sqrt{4x + 1} } \\ f(x) = 8 \times {(4x + 1)}^{ - \frac{1}{2}}$

первообразная F(x)=

$= \frac{ {8 \times (4x + 1)}^{ - \frac{1}{2} + 1}}{4 \times ( - \frac{1}{2} + 1)} + c = \\ = \frac{2 \times {(4x + 1)}^{ \frac{1}{2}}}{ \frac{1}{2} } + c = \\ = 4 \times \sqrt{4x + 1} + c$

M(2;14), x=2, F=14

$14 = 4 \times \sqrt{4 \times 2 + 1} + c \\ 14 = 12 + c \\ c = 2$

F(x)=

$4 \sqrt{4x + 1} + 2$

Answer 2

Щоб знайти першісну функцію $f(x)$ виразу $\frac{8}{\sqrt{4x+1}}$, яка проходить через точку $M(2;14)$, спершу визначимо константу інтегрування, а потім знайдемо саму функцію.

Спершу знайдемо похідну виразу $\frac{8}{\sqrt{4x+1}}$:

$$\begin{align*} f'(x) &= 8 \cdot \frac{d}{dx} (4x+1)^{-1/2} \\ &= -16(4x+1)^{-3/2}. \end{align*}$$

Тепер інтегруємо похідну для знаходження $f(x)$:

$$\begin{align*} f(x) &= \int -16(4x+1)^{-3/2} \, dx \\ &= -16 \int (4x+1)^{-3/2} \, dx. \end{align*}$$

Зробимо підстановку $u = 4x+1$, тоді $du = 4 \, dx$, а отже, $dx = \frac{1}{4} \, du$. Після підстановки отримаємо:

$$\begin{align*} f(x) &= -16 \int u^{-3/2} \cdot \frac{1}{4} \, du \\ &= -4 \int u^{-3/2} \, du \\ &= -4 \cdot \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C \\ &= 8u^{-1/2} + C, \end{align*}$$

де $C$ - константа інтегрування.

Повернемося до виразу $u = 4x+1$ та підставимо назад:

$$\begin{align*} f(x) &= 8(4x+1)^{-1/2} + C. \end{align*}$$

Тепер застосуємо умову, що графік функції проходить через точку $M(2;14)$:

$$\begin{align*} f(2) &= 8(4 \cdot 2 + 1)^{-1/2} + C \\ &= 8 \cdot 3^{-1/2} + C \\ &= \frac{8}{\sqrt{3}} + C, \end{align*}$$

де $C = 14 - \frac{8}{\sqrt{3}}$.

Отже, першісна функція $f(x)$ виглядає так:

$$\begin{align*} f(x) &= 8(4x+1)^{-1/2} + \left(14 - \frac{8}{\sqrt{3}}\right) \\ &= 8\sqrt{\frac{1}{4x+1}} + 14 - \frac{8}{\sqrt{3}}. \end{align*}$$