Question

ДАМ 25 БАЛЛОВ!!!! СРОЧНОООО Ребят, мне мысль одна покоя не даёт,уснуть не могу, а в Москве уже полночь... Подскажите, пожалуйста, почему в формуле включения-исключения элементы пересечения трёх множеств прибавляются, а не вычитаются? КТО ШАРИТ В ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, ПОМОГИТЕ!!!!

Answer 1

Проще всего на диаграммах Венна объяснить.

Складываешь мощности A + B + C, элементы попарных пересечений оказываются посчитаны дважды, а элементы пересечения всех трех множеств -- трижды.

После этого вычитаешь мощности попарных пересечений AB + AC + BC. Теперь элементы попарных пересечений посчитаны ровно один раз, но пересечение всех трех множеств не посчитано ни разу.

Поэтому добавляешь еще мощность ABC.

Answer 2

Конечно, я готов помочь вам разобраться! Формула включения-исключения является одной из основных теорем теории множеств и используется для подсчета размера объединения нескольких множеств.

Формула включения-исключения имеет вид: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|,$ где $|A|$ обозначает размер множества $A$, а $\cap$ и $\cup$ - операции пересечения и объединения множеств соответственно.

Почему элементы пересечения прибавляются, а не вычитаются? Это происходит из-за того, что при простом вычитании элементов пересечения множеств вы можете дважды вычесть некоторые элементы, которые принадлежат более чем одному множеству. Формула включения-исключения корректно учитывает такие случаи.

Вот простой пример, чтобы лучше понять это:

Пусть есть множества:

• $A$ - множество студентов, которые изучают математику,
• $B$ - множество студентов, которые изучают физику,
• $C$ - множество студентов, которые изучают химию.

Вы хотите узнать, сколько всего студентов изучает хотя бы один из этих предметов.

Если бы мы просто вычли бы пересечения, мы могли бы случайно вычесть студентов, которые изучают два или три предмета одновременно. Формула включения-исключения учитывает такие случаи, и поэтому элементы пересечения прибавляются сначала, чтобы "компенсировать" этот эффект, а затем вычитаются лишние элементы, чтобы верно подсчитать количество студентов, изучающих хотя бы один из предметов.

Надеюсь, это помогло вам понять логику за формулой включения-исключения! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.