Question

Основою прямої призми ABCDA1B1C1D1 є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см. Площина, що проходить через вершини А, В1 і С призми, утворює з площиною її основи кут 60 градусів. Визначте висоту призми (у см)

Answer 1

Спершу, давайте з'ясуємо, як виглядає дана призма:

1. Основа призми - прямокутник ABCD зі сторонами 3 см і 4 см.
2. Вершини A, В1 і С лежать на одній площині.
3. Кут між площиною ABCD і площиною AВ1С - 60 градусів.

Ми хочемо знайти висоту призми. Давайте розглянемо трикутник ABC. Він є прямокутним трикутником, так як одна зі сторін прямокутника ABCD є гіпотенузою трикутника ABC.

Ми знаємо, що кут між площиною ABCD і площиною ABC (площина, в якій лежить трикутник ABC) дорівнює 60 градусів. Так як ми маємо прямокутний трикутник ABC, то ми можемо використовувати теорему синусів:

$\sin(60^\circ) = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{гіпотенуза}}.$

Позначимо висоту призми як h. Протилежна сторона для кута 60 градусів - це висота h, а гіпотенуза - це сторона прямокутника ABCD, яка дорівнює 4 см.

Знаючи це, ми можемо розв'язати рівняння:

$\sin(60^\circ) = \frac{h}{4}.$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4}.$

Вирішивши це рівняння відносно h, отримаємо:

$h = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \sqrt{3} \approx 3.46 \, \text{см}.$

Отже, висота призми приблизно дорівнює 3.46 см.