Question

В правильную треугольную призму вписана сфера. Площадь основания призмы равна 27√3 см^2. Найдите высоту призмы и радиус вписанной в нее сферы.

Answer 1

(Заранее извиняюсь, у меня нет знака корня, поэтому буду писать «корень из 3»)

Формула площади правильного треугольника (исходя из того, что это правильная треуг призма)

S=((Корень из 3)/4)*(a^2), где а- длина стороны основания призмы. Т.к нам известна площадь, то мы можем найти a

а^2= (4S)/(корень из 3)

Подставляем значение, решаем

=>

a=6*(корень из 3)

Если призма правильная, то, полагаю, стороны ее должны быть равны, (т.е. а=h (высота призмы)=> радиус сферы будет = 1/2a

R=3*(корень из 3)

Answer 2

Пусть a обозначает длину стороны основания треугольной призмы, а h обозначает её высоту. Так как основание призмы - правильный треугольник, то его площадь можно выразить через длину его стороны a:

Площадь основания = (a^2 * √3) / 4 = 27√3 см².

Решая это уравнение относительно a, получаем:

a^2 = (27√3 * 4) / √3, a^2 = 108, a = √108, a = 6√3 см.

Таким образом, длина стороны основания призмы равна 6√3 см.

Высота призмы (h) равна расстоянию от центра основания до вершины треугольника. Это можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной стороны основания, высотой призмы и радиусом вписанной сферы.

По теореме Пифагора: h^2 + (a/2)^2 = r^2, где r - радиус вписанной сферы.

Подставив известные значения, получаем: h^2 + (6√3 / 2)^2 = r^2, h^2 + 27/2 = r^2.

Мы также знаем, что площадь основания призмы равна 27√3 см², и она может быть выражена через a и h: Площадь основания = (a * h) / 2, 27√3 = (6√3 * h) / 2, h = (27√3 * 2) / (6√3), h = 9 см.

Теперь мы можем подставить значение h в уравнение для r^2: 9^2 + 27/2 = r^2, 81 + 27/2 = r^2, r^2 = 81 + 13.5, r^2 = 94.5, r = √94.5, r ≈ 9.72 см.

Итак, высота призмы равна 9 см, а радиус вписанной сферы примерно 9.72 см.