Question

Тема: Линейные дифференциальные уравнения. 1.Решить уравнения y′+y/x=2

Answer 1

Ответ: y = x + C/x

Пошаговое объяснение:

y' + (y / x) = 2

Диф уравнение первого порядка

Введем новую переменную z = y - x

и приведем у равнение к уравнению с разделяющимися переменными

Та как z = y - x, то  y = z + x

                                y' = z' + 1

Следовательно можно записать

z' + 1 + ((z+x) / x) = 2

z' + 1 + (z/ x) + 1 = 2

           z' + (z/ x) = 0

                      z' = - z/ x

                    z'/z = -1/ x

                  dz/z  = -dx/x

Интегрируем обе части уравнения

                    ln(z) = -ln(x) + ln(C)

                    ln(z) = ln(C/x)

                        z = C/x

Находим исходную функцию у

                   y = z + x = x+C/x

Answer 2

Для решения данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

$y' + \frac{y}{x} = 2$

можно использовать метод интегрирующего множителя. Перепишем уравнение в виде:

$y' + \frac{1}{x} y = 2x.$

Теперь мы видим, что коэффициент при производной y' равен 1, а коэффициент при y равен 1/x. Для того чтобы найти интегрирующий множитель, умножим оба части уравнения на x:

$x y' + y = 2x^2.$

Сравним это уравнение с общей формой линейного дифференциального уравнения:

$y' + P(x)y = Q(x).$

Сравнивая коэффициенты при y' и y, видно, что P(x) = 1/x. Теперь найдем интегрирующий множитель, умножив обе части на интегрирующий множитель μ(x):

$\mu(x) x y' + \mu(x) y = \mu(x) 2x^2.$

Требуем, чтобы левая часть стала полным дифференциалом. То есть:

$\frac{d}{dx} (\mu(x) y) = \mu(x) x y' + \mu(x) y' = \mu(x) (x y' + y').$

Сравнивая это с предыдущим уравнением, получаем:

$\mu(x) (x y' + y') = \mu(x) 2x^2.$

Теперь можем найти μ(x):

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x|.$

Теперь, разделим обе стороны уравнения на μ(x):

$|x| (x y' + y) = 2x^2 |x|.$

Подставляем изначальное уравнение y' + y/x = 2:

$|x| (2x^2) = 2x^3.$

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

$\int 2x^3 dx = \int |x| dx.$

$x^4 + C_1 = \frac{x^2}{2} + C_2,$

где C1 и C2 — константы интегрирования. Выразим C1:

$C_1 = \frac{x^2}{2} + C_2 - x^4.$

Собираем константы:

$C = C_2 - x^4,$

где C = C2 - C1 — новая константа.

Таким образом, решение уравнения y' + y/x = 2:

$y(x) = \frac{x^2}{2} + C - x^4.$