Question

Помогите! Как решить эту чертовщину? Сидим вчетвером не можем додуматься 2×4^x + 7×49^x ≤ 9×14^x

Answer 1

Ответ:[-1;0]

Пошаговое объяснение:

2·4ˣ + 7·49ˣ ≤ 9·14ˣ

2·4ˣ + 7·49ˣ  - 9·14ˣ  ≤ 0

Так как 4 = 2² , 49 = 7², а 14 = 2·7 то можно записать  

2·2²ˣ + 7·7²ˣ - 9·2ˣ·7ˣ ≤ 0

Разложим на множители левую часть неравенства

2·2²ˣ + 7·7²ˣ - 2·2ˣ·7ˣ - 7·2ˣ·7ˣ  ≤ 0

2·2²ˣ - 2·2ˣ·7ˣ + 7·7²ˣ - 7·2ˣ·7ˣ  ≤ 0

2·2ˣ(2ˣ - 7ˣ) + 7·7ˣ(7ˣ - 2ˣ)  ≤ 0

-2·2ˣ(7ˣ - 2ˣ) + 7·7ˣ(7ˣ - 2ˣ)  ≤ 0

            (7ˣ - 2ˣ)(7·7ˣ - 2·2ˣ) ≤ 0

            (7ˣ - 2ˣ)(7ˣ⁺¹ - 2ˣ⁺¹) ≤ 0

Решим данное неравенство по методу интервалов.

Для этого найдем значения х при которых множители меняют свой знак.

                              7ˣ - 2ˣ = 0

                                    7ˣ = 2ˣ

                                     х₁ = 0

По аналогии

                               7ˣ⁺¹ - 2ˣ⁺¹ = 0

                                       х₂ = -1

На числовой прямой отобразим эти точки и получим три интервала (-∞;-1) (-1;0) (0;+∞).

Произвольно выбирая значения в этих интервалах найдем их знаки.

Например в интервале  (0;+∞) выбираем х =2, тогда   (7ˣ - 2ˣ)(7ˣ⁺¹ - 2ˣ⁺¹) = (7² - 2²)(7¹ - 2ˣ¹) > 0. Аналогично находим знаки в других интервалах

    +           0          -            0        +

----------------!---------------------!-----------

                 -1                       0

На числовой прямой видно, что  левая часть неравенства меньше или равна нулю на отрезке [-1;0]

Следовательно неравенство истинно при всех значениях            

х ∈[-1;0]

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это неравенство. Давайте разберемся с ним:

Начнем с того, что 2×4^x можно записать как 2^x * 2^2x = 4^x * 4^x = 16^x. Аналогично, 7×49^x = 7 * 7^2x = 49^x * 7^x.

Подставим это обратно в неравенство:

16^x + 49^x * 7^x ≤ 9 * 14^x.

Мы видим, что оба члена неравенства содержат степени x, так что давайте попробуем привести их к общему виду, возведя 49 в степень 2x:

16^x + (7^x)^2 * 7^x ≤ 9 * 14^x.

16^x + 7^(2x) * 7^x ≤ 9 * 14^x.

16^x + 7^(3x) ≤ 9 * 14^x.

Теперь давайте разделим обе стороны неравенства на 16^x:

1 + (7/16)^{3x} ≤ 9 * (14/16)^x.

1 + (7/16)^{3x} ≤ 9 * (7/8)^x.

Давайте введем замену u = (7/16)^x. Тогда неравенство примет вид:

1 + u^3 ≤ 9u^2.

Теперь это кубическое неравенство, которое можно решить следующим образом:

u^3 - 9u^2 + 1 ≤ 0.

Для решения этого неравенства можно воспользоваться графиком функции, численными методами или аналитическим методом.

После того, как вы найдете интервалы значений u, которые удовлетворяют неравенству, не забудьте вернуться к исходному выражению и найти соответствующие значения x.

Пожалуйста, обратитесь к математическому программному обеспечению или калькулятору для более точного анализа численных значений.